Задача 60601 Найдите отношение радиусов окружностей,...

61018b3ba1c50e1d30443518

01.09.2021 19:09:37

Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников АМС и АВС, если „В = 120° и М — точка пересечения биссектрис треугольника АВС.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

05.09.2021 09:50:18

★

∠ B=120 ° ⇒ ∠ A+ ∠ C=180 ° -120 ° =60 °

По теореме синусов

[m]\frac{AC}{sin120 ° }=2R_{ Δ ABC}[/m] ⇒ [red] [m]AC=2R_{ Δ ABC}\cdot sin120 °[/m][/red]



AM- биссектриса угла А
∠ MAC=(1/2) ∠ A

СМ- биссектриса угла С
∠ MСA=(1/2) ∠ С

∠ MAC+∠ MСA= (1/2) ∠ A+(1/2) ∠ С=(1/2)*(∠ A+ ∠ С)=(1/2)*60 ° =[b]30 °[/b]

⇒ ∠ АМС=180 ° -∠ MAC-∠ MСA=180 ° -30 ° =[blue]150 ° [/blue]

По теореме синусов

[m]\frac{AC}{sin150 ° }=2R_{ Δ AMC}[/m] ⇒ [red][m]AC=2R_{ Δ AMC}\cdot sin150 °[/m][/red]



[m]2R_{ Δ ABC}\cdot sin120 °=2R_{ Δ AMC}\cdot sin150 °[/m]

[m]\frac{R_{ Δ AMC}}{R_{ Δ ABC}}=\frac{sin120 °}{sin150 °}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}[/m]