Задача 60591 1) /3; -1; 1/3;... ; 2) /2 + /2( /2-1)...
Условие
геометрической прогрессии.
Решение
По определению геометрической прогрессии
[r] [m]b_{n}=b_{n-1}\cdot q[/m][/r]
[m]b_{2}=b_{1}\cdot q[/m]
[m]b_{3}=b_{2}\cdot q[/m]
Подставляем: [m]b_{1}=\sqrt{3}[/m]; [m]b_{2}=-1[/m];
получаем
[m]q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{(-1)}{\sqrt{3}}[/m]
Так как |q| < 1 прогрессия убывающая
По формуле суммы бесконечно убывающей прогрессии:
[r][m]S=\frac{b_{1}}{1-q}[/m][/r]
получаем
[m]S=\frac{\sqrt{3}}{1-(-\frac{1}{\sqrt{3})}}[/m]
[m]S=\frac{\sqrt{3}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}[/m]
[m]S=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}[/m]
[m]S=\frac{3}{\sqrt{3}+1}[/m]
О т в е т. [m]S=\frac{3}{\sqrt{3}+1}[/m]
2)
[m]b_{1}=\sqrt{2}[/m]
[m]b_{2}=\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2}-1)[/m]
По определению геометрической прогрессии
[r] [m]b_{n}=b_{n-1}\cdot q[/m][/r]
[m]b_{2}=b_{1}\cdot q[/m]
[m]q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1[/m]
|q|< 1 ⇒ прогрессия убывающая
По формуле суммы бесконечно убывающей прогрессии:
[r][m]S=\frac{b_{1}}{1-q}[/m][/r]
получаем
[m]S=\frac{\sqrt{2}}{1-(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}[/m]
О т в е т. [m]S=\frac{1}{\sqrt{2}-1}[/m]