Задача 60590 Найдите b1 и S5...
Условие
Решение
[r] [m]b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}[/m][/r]
[m]b_{3}=b_{1}\cdot q^2[/m]
Подставляем: [m]b_{3}=\frac{9}{8}[/m]; [m] q=-\frac{3}{4}[/m]
получаем
[m]\frac{9}{8}=b_{1}\cdot (-\frac{3}{4})^2[/m]
[m]\frac{9}{8}=b_{1}\cdot \frac{9}{16}[/m]
[m]b_{1}=\frac{9}{8}: \frac{9}{16}[/m]
[m]b_{1}=\frac{9}{8}\cdot \frac{16}{9}[/m]
[m]b_{1}=2[/m]
По формуле суммы n членов геометрической прогрессии:
[r][m]S_{n}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{n})}{1-q}[/m][/r]
[m]S_{5}=\frac{2\cdot (1-(-\frac{3}{4})^5)}{1-(-\frac{3}{4})}=\frac{2\cdot (1+\frac{243}{1024})}{\frac{7}{4}}=\frac{181}{128}[/m]
Можно найти сумму первых пяти членов, если вычислить каждое из них:
[m]b_{2}=b_{1}\cdot q=2\cdot (-\frac{3}{4}=-\frac{3}{2}[/m]
[m]b_{4}=b_{3}\cdot q=\frac{9}{8}\cdot (-\frac{3}{4}=-\frac{27}{32}[/m]
[m]b_{5}=b_{4}\cdot q=-\frac{27}{32}\cdot (-\frac{3}{4}=\frac{81}{128}[/m]
[m]S_{5}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}[/m]
[m]S_{5}=2+(-\frac{3}{2})+\frac{9}{8}+(-\frac{27}{32})+\frac{81}{128}[/m]
Складываю первые две дроби:
[m]S_{5}=\frac{1}{2}+\frac{9}{8}+(-\frac{27}{32})+\frac{81}{128}[/m]
[m]S_{5}=(\frac{4}{8}+\frac{9}{8})+(-\frac{27}{32})+\frac{81}{128}[/m]
Складываю первые две дроби:
[m]S_{5}=\frac{13}{8}+(-\frac{27}{32})+\frac{81}{128}[/m]
[m]S_{5}=(\frac{52}{32}+(-\frac{27}{32}))+\frac{81}{128}[/m]
[m]S_{5}=\frac{25}{32}+\frac{81}{128}[/m]
[m]S_{5}=\frac{100}{128}+\frac{81}{128}[/m]
[m]S_{5}=\frac{181}{128}[/m]
2)
По формуле n-го члена геометрической прогрессии
[r] [m]b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}[/m][/r]
[m]b_{5}=b_{1}\cdot q^4[/m]
Подставляем: [m]b_{5}=-16[/m]; [m] q=\frac{2}{3}[/m]
получаем
[m]16=b_{1}\cdot (\frac{2}{3})^4[/m]
[m]16=b_{1}\cdot \frac{16}{81}[/m]
[m]b_{1}=16: \frac{16}{81}[/m]
[m]b_{1}=16\cdot \frac{81}{16}[/m]
[m]b_{1}=81[/m]
По формуле суммы n членов геометрической прогрессии:
[r][m]S_{n}=\frac{b_{1}\cdot (1-q^{n})}{1-q}[/m][/r]
[m]S_{5}=\frac{81\cdot (1-(\frac{2}{3})^5)}{1-(\frac{2}{3})}=\frac{81\cdot (1-\frac{32}{243})}{\frac{1}{3}}=\frac{81\cdot \frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}=211[/m]
Можно найти сумму первых пяти членов, если вычислить каждое из них:
[m]b_{2}=b_{1}\cdot q=81\cdot (\frac{2}{3}=54[/m]
[m]b_{3}=b_{2}\cdot q=54\cdot (\frac{2}{3}=36[/m]
[m]b_{4}=b_{3}\cdot q=36\cdot (\frac{2}{3}=24[/m]
[m]b_{5}=b_{4}\cdot q=24\cdot (\frac{2}{3}=16[/m]
[m]S_{5}=b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}+b_{5}[/m]
[m]S_{5}=81+54+36+24+16=211[/m]