Задача 60553 Исследовать функцию z(x;y)=...
Условие
Решение
z`_(x)=(x^2+xy+Ay^2+x–4)`_(x)=2x+y+1
z`_(y)=(x^2+xy+Ay^2+x–4)`_(y)=x+2Ay
Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0
{2x+y+1=0 ⇒ y=-2x-1 и подставим во второе
{x+2Ay=0
{16+4x-2y=0
{x+2А*(-2x-1)=0 ⇒ (1-4A)x=2A
x=2A/(1-4A) ⇒ y=
при A ≠1/4
⇒ y=-2x-1
y=-1/(1-4A)
M( 2A/(1-4A); -1/(1-4A)) - точка возможного экстремума
Находим вторые частные производные
z``_(xx)=(2x+y+1)`_(x)=2
z``_(xy)=(2x+y+1)`_(y)=1
z``_(yy)=(x+2Ay)`_(y)=2A
A=z``_(xx)(M)=2
B=z``_(yy)(M)=1
C=z``_(xy)(M)=2А
Δ= AB - C^2=2*1-(2А)^2=2-4A^2
Если Δ=2-4A^2>0 ⇒ 2A^2-1 <0 ⇒ -1/sqrt(2) < A<1/ sqrt(2), тогда
точка M - точка экстремума.
Так как A=z``_(xx)(M)=2>0, то это точка [b]минимума.[/b]
Если Δ=2-4A^2<0 ⇒2A^2-1 >0 ⇒ нет экстремумов
При А= ± 1/sqrt(2)
Δ=0 ⇒ нужно дополнительное исследование, с помощью дифференциала.