Задача 60519 наименьшее и наибольшее значение функции...

611caf8abdb7e738ec37d460

18.08.2021 10:02:43

наименьшее и наибольшее значение функции в замкнутой области сделать чертеж областинайти наибольшее и наименьшее значения функции ==/)(х.у) в замкнутой области О. Сделать чертеж области . ::.\'2+3_v27.\'7_v, В:{хіО‚уЗО‚уйхіЗ}.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

18.08.2021 18:10:42

★

z`_(x)=(x^2+3y^2-x-y)`_(x)=2x-1
z`_(y)=(x^2+3y^2-x-y)`_(y)=6y-1

Найдем стационарные точки, точки в которых частные производные равны 0:

{z`_(x)=0
{z`_(y)=0

{2x-1=0
{6y-1=0

{x=1/2
{y=1/6

(1/2;1/6) - точка возможного экстремума не принадлежит области ( область - треугольник АВО на рис. 4)

Значит осталось исследовать наибольшие и наименьшие значения на границе:


1)

[b]x=0[/b] ⇒ z=0^2+3y^2-0-y ;
z=3y^2-y

Квадратичная функция принимает наименьшее значение
в вершине параболы, т.е при y=1/6

z=(0;1/6)=0^2+3*(1/6)y^2-0-(1/6)=(1/12)-(1/6)=[b]-1/12 [/b];

2)
[b]y=0[/b] ⇒ z=x^2+3*0^2-x-0;
z=x^2-x

Квадратичная функция принимает наименьшее значение
в вершине параболы, т.е при x=1/2

(1/2;0) точка не принадлежит области
3)

[b]y-x=3[/b] ⇒ y=x+3

z=x^2+3(x+3)^2-x-(x+3)

z=4x^2+16x+24

z=4(x^2+4x+6)

Квадратичная функция принимает наименьшее значение в вершине параболы,

т.е при x=-2

⇒ y=x+3=-2+3=1

(-2;1)

Это значение входит в область треугольника АВО

z(-2;1)=(-2)^2+3*1^2-(-2)-1=[b]8[/b]


В точке А (-3;0)

z(-3;0)=(-3)^2+3*0^2-(-3)-0=[b]12[/b]

В точке B (0;3)
z(0;3)=(0)^2+3*3^2-(0)-3=[b]24[/b] - наибольшее значение функции


z=(0;1/6)= [b]-1/12 [/b] - наименьшее значение функции


Нарисовала вид поверхности.

Разрез по ОА - серого цвета ( это парабола z=x^2-x)

Разрез по ОВ - сиреневого цвета ( это парабола z=3y^2-y)

Разрез по АВ - синего цвета ( это парабола z=4(x^2+4x+6) )