Задача 60514 Сколько членов является рациональным...

61018b3ba1c50e1d30443518

16.08.2021 20:09:14

Сколько членов является рациональным числом в разложении бинома

5f3ea7e3faf909182968ddd9

17.08.2021 21:07:29

★

[m](\sqrt{3}+\sqrt[3]{2})^{100}=(\sqrt{3})^{100}+100\cdot (\sqrt{3})^{99}\cdot (\sqrt[3]{2})^{1}+\frac{100\cdot 99}{2}\cdot (\sqrt{3})^{98}\cdot (\sqrt[3]{2})^{2}+...+A\cdot \cdot (\sqrt{3})^{k}\cdot (\sqrt[3]{2})^{n-k}+...+(\sqrt[3]{2})^{100}[/m]

⇒
Так как коэффициенты бинома - целые положительные, то слагаемые в этом разложении являются рациональными, если

k кратно 3

n-k кратно 2

Осталось сосчитать сколько таких чисел в первой сотне...


Кратны трем:

k=3;6;9;12;15;18;

Тогда
n-k=97; [b]94[/b];91;[b]88[/b]

97 не кратно 2

94 кратно 2

91 не кратно 2

88 кратно 2



Ответ . С) 16 чисел