Задача 60491 ...

611404ccbdb7e738ec37ca68

11.08.2021 20:12:24

Окружность, построенная на стороне AD‍ параллелограмма ABCD‍ как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Докажите, что ABCD —‍ ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону AB‍ в точке M,‍ причём AM : MB = 1 : 2.‍ Найдите диагональ AC,‍ если известно AD = 6

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.08.2021 14:17:26

1.
AD- диаметр ⇒ ∠ AKD=90 ° как угол опирающийся на диаметр ⇒ ∠ BKC=90 ° ⇒

Все углы при пересечении диагоналей по 90 °

Диагонали параллелограмма в точке К делятся пополам ⇒ АК=КС; BК=KD

Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны ⇒ Прямоугольные треугольники

АВК и AKD равны по двум катетам ⇒ AB=AD

ABCD - ромб

2.

AB=AD=6

AM:MB=1:2⇒ AM=(1/3)AB=2 и MB=(2/3)AB=4


Δ AMD - прямоугольный

∠ AMD=90 ° как угол опирающийся на диаметр


AD=[b]6[/b]; AM=[b]2[/b]

По теореме [b]Пифагора:[/b]

MD^2=AD^2-AM^2=6^2-2^2=36-4=[red]32[/red]



Из Δ BMD - прямоугольный ∠ ВMD=90 ° как угол смежный с углом ∠ AMD=90 °

По теореме [b] Пифагора[/b]

BD^2=BM^2+MD^2=4^2+[red]32[/red]=48
BD=4sqrt(3)

По теореме [b]Пифагора[/b] из Δ АВК:

AK^2=6^2-(2sqrt(3))^3=36-12=24

AK=2sqrt(6)

AC=4sqrt(6)