Задача 60457 Окружность касается стороны BC и...

61018b3ba1c50e1d30443518

03.08.2021 18:28:10

Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB,AC треугольника АВС.Найдите радиус окружности,если АВ=10, ВС=17 и АС=21.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

03.08.2021 21:52:44

★

Свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки.

ВМ=BF

CE=CM

[b]AF=AE[/b] ⇒


( см. рис)

AF=AE=24


Найдем sin ∠ A

S_( Δ ABC)=sqrt(24*14*3*7)=84 ( формула Герона)

R=abc/4S - радиус окружности, описанной около треугольника АВС

R=(10*17*21)/(4*84)=170/16=[b]85/8[/b]


По теореме синусов

BC/sin ∠ A = 2R ⇒

sin ∠ A=4/5=0,8

cos ∠ A=0,6

⇒ tg ∠ A=4/3


AO - биссектриса ∠ А

По формуле тангенса половинного аргумента( см. скрин)

tg( ∠ A/2)=0,8/1+0,6=1/2

⇒

Из Δ АОЕ

tg( ∠ A/2)=ОЕ/АЕ


ОЕ=AE*tg( ∠ A/2)=24*(1/2)=12


О т в е т. [b]12[/b]