Задача 60423 Найдите все значения параметра а, при ‚...

60f985f6a1c50e1d30442dba

22.07.2021 20:31:47

Найдите все значения параметра а, при ‚ каждом из которых уравнение (x^2-2x+a^2-6a) / (x^2+x-a) = 0 имеет ровно два различных решения.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

22.07.2021 20:41:24

★

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

{x^2-2x+a^2-6a=0
{x^2+x-a ≠ 0

Решаем первое уравнение:
x^2-2x+a^2-6a=0
Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант уравнения положительный:

D=(-2)^2-4*(a^2-6a)=4-4a^2+24a

4-4a^2+24a >0

-4(a^2-6a+1)>0

a^2-6a+1<0 ⇒ a ∈ (3-sqrt(10); 3+sqrt(10))


Осталось исключить те значения параметра а, при которых корни числителя и знаменателя совпадают.

Для этого решим уравнение:

x^2-2x+a^2-6a=x^2+x-a

3x=a^2-5a

x=(a^2-5a)/3 - это общий корень числителя и знаменателя.

Надо найти, при каких значениях параметра а
дробь (a^2-5a)/3 является корнем числителя или не является корнем знаменателя.


Подставляем найденное значение х во второе неравенство системы:

x^2+x-a ≠ 0 ∞

(a^2-5a)^2+3*(a^2-5a) -9a≠ 0

a*(a^3-10a^2+25a+3a-15-9)=0



a*(a^3-10a^2+28a-24) ≠ 0 ⇒ a*(a-6)*(a-2)^2 ≠ 0


a ≠0; a ≠ 2; a ≠ 6


О т в е т. [b]a ∈(3-sqrt(10);0) U (0;2)U(2;6)U(6; 3+sqrt(10))[/b]

можно посмотреть решения аналогичных задач:



https://reshimvse.com/zadacha.php?id=60376

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=47048

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37732

https://reshimvse.com/zadacha.php?id=37757