Задача 60350 Вычислить:...
Условие
Решение
Запишем числа в показательной форме [m]=\frac{e^{\frac{π}{4}i}}{2e^{\frac{3π}{4}i}}=[/m]
Применяем свойства степени: [m]=\frac{1}{2}e^{\frac{π}{4}i-\frac{3π}{4}i}=\frac{1}{2}e^{-\frac{π}{2}i}=[/m]
Запишем число в тригонометрической форме[m]=\frac{1}{2}\cdot (cos(-\frac{π}{2})+isin(-\frac{π}{2}))=[/m]
Вычислим значения тригонометрических функций и получим алгебраическую форму числа: [m]=-\frac{1}{2}[/m]
Итак, [m]\frac{(cos\frac{π}{4}+isin\frac{π}{4})}{2\cdot (cos\frac{3π}{4}+isin\frac{3π}{4})}=\frac{e^{\frac{π}{4}i}}{2e^{\frac{3π}{4}i}}=\frac{1}{2}e^{\frac{π}{4}i-\frac{3π}{4}i}=\frac{1}{2}e^{-\frac{π}{2}i}=\frac{1}{2}\cdot (cos(-\frac{π}{2})+isin(-\frac{π}{2}))=-\frac{1}{2}[/m]
b)[m]\sqrt[4]{cos\frac{4π}{3}+isin\frac{4π}{3}}=(cos\frac{4π}{3}+isin\frac{4π}{3})^{\frac{1}{4}}=[/m]
по формуле Муавра ( cм. скрин)
[m]=cos\frac{\frac{4π}{3}+2 \pi k}{4}+isin\frac{\frac{4π}{3}+2 \pi k}{4}[/m], k ∈ Z
при k=0
первый корень
z_(o)[m]=cos\frac{\frac{4π}{3}}{4}+isin\frac{\frac{4π}{3}}{4}=cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
при k=1
второй корень
z_(1)[m]=cos\frac{\frac{4π}{3}+2 \pi }{4}+isin\frac{\frac{4π}{3}+2 \pi }{4}=cos\frac{10π}{12}+isin\frac{10π}{12}=cos\frac{5π}{6}+isin\frac{5π}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2}[/m]
при k=2
третий корень
z_(2)[m]=cos\frac{\frac{4π}{3}+4 \pi }{4}+isin\frac{\frac{4π}{3}+4 \pi }{4}=cos\frac{4π}{3}+isin\frac{4π}{3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
при k=3
четвёртый корень
z_(3)[m]=cos\frac{\frac{4π}{3}+6 \pi }{4}+isin\frac{\frac{4π}{3}+6 \pi }{4}=cos\frac{22π}{12}+isin\frac{22π}{12}=cos\frac{11π}{6}+isin\frac{11π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-i\cdot \frac{1}{2}[/m]
Корни расположены на окружности радиуса 1
Точки z_(o);z_(1);z_(2);z_(3) делят окружность на четыре ( потому что корень четвертой степени) равные части, каждая по 90 градусов
(cм. рис )
