Задача 60329 решить уравнение:...
Условие
Решение
sin^2x=[b]1-cos^2x[/b], то
4cos^3x+3cosx+4√3=4√3*([b]1-cos^2x[/b])
4cos^3x+3cosx+4√3-4√3*(1-cos^2x)=0
4cos^3x+3cosx+4√3-4√3+4√3cos^2x=0
4cos^3x+3cosx+4√3cos^2x=0
cosx*(4cos^2x+4√3cosx+3)=0
cosx=0 или 4cos^2x+4√3cosx+3=0
cosx=0 ⇒ [b] x=(π/2)+πk, k ∈ Z[/b]
4cos^2x+4√3cosx+3=0 - квадратное уравнение относительно косинуса.
[i]Замена переменной:[/i]
cosx=t
4*t^2+4√3*t+3=0
D=(4√3)^2-4*4*3=48-48=0
(2t+√3)^2=0
2t+√3=0
t=-√3/2
cosx=-√3/2 ⇒ x= ± arccos(-√3/2)+2πn, n ∈ Z ⇒ x= ± (π - arccos(√3/2))+2πn, n ∈ Z ⇒ x= ± (π - (π/6))+2πn, n ∈ Z ⇒
[b]x= ± (5π/6)+2πn, n ∈ Z [/b]
О т в е т. [b] (π/2)+πk, k ∈ Z[/b]; [b] ± (5π/6)+2πn, n ∈ Z [/b]