Задача 60294 Найдите объём тела, полученного...

60d28b35a1c50e1d3043ff7d

23.06.2021 04:18:15

Найдите объём тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси.
Фигура ограничена линиями y=ln(x), y=2-ln(x), y=0, ось вращения OY

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.06.2021 15:34:12

★

[m]V_{Oy}=π ∫ ^{d}_{c}( g^2_{2}(y)-g^2_{1}(y))dy[/m]

d=1
c=0

y=lnx ⇒ x=e^(y) ⇒ ⇒ g_(1)(y)=e^(y)

y=2-lnx ⇒ lnx=2-y ⇒ e^(2-y)=x ⇒ g_(2)(y)=e^(2-y)


[m]V_{Oy}=π ∫ ^{1}_{0}( (e^{2-y})^2-(e^{y})^2)dy=π ∫ ^{1}_{0}( e^{2(2-y)}-e^{2y})dy=π(-\frac{1}{2}e^{4-2y}-\frac{1}{2}e^{2y})|^{1}_{0}=π(-\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}e^{2})+π(\frac{1}{2}e^{4}+\frac{1}{2}e^{0})=π(\frac{e^4}{2}+1-e^2)[/m]