Задача 60267 ...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x-\frac{1}{x} ≥ 0\\1-\frac{1}{x} ≥ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x^2-1}{x} ≥ 0\\\frac{x-1}{x} ≥ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}x> 0\\x^2-1 ≥ 0\\x-1 ≥0 \end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x<0\\x^2-1 ≤ 0\\x-1 ≤0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x> 0\\x ≤-1 или x≥ 1\\x≥1 \end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x<0\\-1 ≤ x ≤ 1 \\x ≤1\end {matrix}\right.[/m]
x ∈ [1;+ ∞ ) или x ∈ [-1;0)
ОДЗ: [-1;0)U[1;+ ∞ )
Так как [m]\sqrt{x-\frac{1}{x}} =\sqrt{\frac{x^2-1}{x}}=\sqrt{\frac{x-1}{x}\cdot (x+1)}[/m]
и с учетом ОДЗ, можно представить в виде:
[m]\sqrt{x-\frac{1}{x}} =\sqrt{\frac{x-1}{x}}\cdot\sqrt{ (x+1)}[/m]
Тогда неравенство принимает вид:
[m]\sqrt{\frac{x-1}{x}}\cdot\sqrt{ (x+1)}-\sqrt{\frac{x-1}{x}}>\frac{x-1}{x}[/m]
[m]\sqrt{\frac{x-1}{x}}\cdot(\sqrt{ (x+1)}-1)>\sqrt{\frac{x-1}{x}}\cdot \sqrt{\frac{x-1}{x}}[/m]