Задача 60244 ...
Условие
Заранее спасибо за правильный и верный ответ.
Решение
d^2=a^2+b^2+c^2 ⇒ c^2=d^2-a^2-b^2
тогда
V=a*b*sqrt(d^2-a^2-b^2), те объем - функция двух переменных
Пусть a=x; b=y
V=x*y*sqrt(d^2-x^2-y^2),
Находим частные производные:
[m]V`_{x}=y \cdot (\sqrt{d^2-x^2-y^2}+x\cdot\frac{(-2x)}{2\sqrt{d^2-x^2-y^2}})=y \cdot \frac{(d^2-x^2-y^2)-x^2}{\sqrt{d^2-x^2-y^2}}=y \cdot \frac{(d^2-2x^2-y^2}{\sqrt{d^2-x^2-y^2}}[/m]
[m]V`_{y}=x\cdot (\sqrt(d^2-x^2-y^2)+y\cdot \frac{(-2y)}{2\sqrt{d^2-x^2-y^2}})=x \cdot \frac{(d^2-x^2-y^2)-y^2}{\sqrt{d^2-x^2-y^2}}=x \cdot \frac{(d^2-x^2-2y^2}{\sqrt{d^2-x^2-y^2}}[/m]
Находим стационарные точки:
[m]\left\{\begin {matrix}V`_{x}=0\\V`_{y}=0\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}y \cdot (\sqrt{d^2-x^2-y^2}+x\cdot\frac{(-2x)}{2\sqrt{d^2-x^2-y^2}})=0\\x \cdot(\sqrt{d^2-x^2-y^2}+y\cdot\frac{(-2y)}{2\sqrt{d^2-x^2-y^2}})=0\end {matrix}\right.[/m]
x=0; y=0 - тривиальный случай.
[m]\left\{\begin {matrix}d^2-2x^2-y^2=0\\d^2-x^2-2y^2=0\end {matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin {matrix}d^2=2x^2+y^2\\d^2=x^2+2y^2=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]2x^2+y^2=x^2+2y^2.[/m]
[m]x^2=y^2[/m]
[m]x=y[/m]
Убедиться, что это точка максимума. Найти вторые частные производные
[m]V``_{xx}=(V`_{x})`_{x} =y \cdot (\frac{(d^2-2x^2-y^2}{\sqrt{d^2-x^2-y^2}})`_{x}[/m]
[m]V``_{xy}=(V`_{x})`_{y} = (y \cdot (\frac{(d^2-2x^2-y^2}{\sqrt{d^2-x^2-y^2}}))`_{y}[/m]
[m]V``_{yy}=(V`_{y})`_{y}=x\cdot (\frac{(d^2-x^2-2y^2}{\sqrt{d^2-x^2-y^2}})`_{y}[/m]
Найти из значения в точке (x; x)
Составить Δ
Тогда
[m]d^2=2x^2+y^2=2x^2+x^2=3x^2[/m] ⇒ [m]x=\frac{d\sqrt{3}}{3}[/m]- точка максимума
О т в е т. [m] a=b=c=\frac{d\sqrt{3}}{3}[/m]