Задача 60242 Найти решение задачи Коши для линейного...
Условие
Классическим методом.
Решение
Решаем однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y`` -2y`+5y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-2k+5=0
D=(-2)^2-4*5=-16
k_(1)=(2-4i)/2=1-2i; k_(2)=(2+4i)/2=1+2i – корни комплексно-сопряженные.
α =1; β =2
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее одн.)=[m]e^{x}\cdot (С_{1}\cdot cos2x+C_{2}\cdot sin2x) [/m]
Правая часть неоднородного уравнения имеет специальный вид.
Применяем метод неопределённых коэффициентов.
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид.
y_(частное неодн)=[m](Аx+B)\cdot e^{-x}[/m]
Находим
y`_(частное неодн)=[m]((Аx+B)\cdot e^{-x})`=(Аx+B)`\cdot e^{-x}+(Аx+B)\cdot (e^{-x})`=A\cdot e^{-x}+(Аx+B)\cdot (e^{-x})\cdot (-x)`=(-Ax-B+A)\cdot e^{-x}[/m]
y``_(частное неодн)=[m]((-Ax-B+A)\cdot e^{-x})`=(-A)\cdot e^{-x}+(-Аx-B+A)\cdot (e^{-x})\cdot (-x)`=(Ax+B-2A)\cdot e^{-x}[/m]
Подставляем в уравнение:
[m](Ax+B-2A)\cdot e^{-x}-2\cdot (-Ax-B-A)\cdot e^{-x}+5\cdot(Аx+B)\cdot e^{-x}=xe^{-x} [/m]
[m](Ax+B-2A)-2\cdot (-Ax-B+A)+5\cdot(Аx+B)=x [/m]
Получили равенство двух многочленов:
[m]8Ax+8B-4A=x[/m]
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной:
[m]8Ax=x[/m] ⇒ [m]A=\frac{1}{8}[/m]
[m]8B-4A=0[/m] ⇒ [m]B=\frac{1}{2}A=\frac{1}{16}[/m]
y_(частное неодн)=[m](\frac{1}{8}x+\frac{1}{16})\cdot e^{-x}[/m]
Общее решение неоднородного уравнения:
y_(общее неодн)=y_(общее одн.)+y_(частное неодн)=[m]e^{x}\cdot (С_{1}\cdot cos2x+C_{2}\cdot sin2x)+(\frac{1}{8}x+\frac{1}{16})\cdot e^{-x}[/m]
Решаем задачу Коши.
y(0)=1
Подставляем в общее решение неоднородного уравнения
x=0; y=1
[m]1=e^{0}\cdot (С_{1}\cdot cos(2\cdot 0)+C_{2}\cdot sin(2\cdot 0))+(\frac{1}{8}x+\frac{1}{16})\cdot e^{-0}[/m] ⇒
[m]1=С_{1}+\frac{1}{16}[/m] ⇒ [m]С_{1}=\frac{15}{16}[/m]
Находим
[m]y`=(e^{x}\cdot (С_{1}\cdot cos2x+C_{2}\cdot sin2x)+(\frac{1}{8}x+\frac{1}{16})\cdot e^{-x})`=[/m]
[m]=(e^{x})`\cdot(С_{1}\cdot cos2x+C_{2}\cdot sin2x)+e^{x}\cdot (С_{1}\cdot cos2x+C_{2}\cdot sin2x)`+(\frac{1}{8}x+\frac{1}{16})`\cdot e^{-x}+(\frac{1}{8}x+\frac{1}{16})\cdot (e^{-x})`=[/m]
[m]=e^{x}\cdot(С_{1}\cdot cos2x+C_{2}\cdot sin2x)+e^{x}\cdot (С_{1}\cdot (-sin2x)\cdot (2x)`+C_{2}\cdot (cos2x)\cdot (2x)`)+\frac{1}{8}\cdot e^{-x}+(\frac{1}{8}x+\frac{1}{16})\cdot (e^{-x})\cdot (-x)`=[/m]
[m]=e^{x}\cdot(С_{1}\cdot cos2x+C_{2}\cdot sin2x)+e^{x}\cdot (-2С_{1}\cdot sin2x+2C_{2}\cdot cos2x)+\frac{1}{8}\cdot e^{-x}-(\frac{1}{8}x+\frac{1}{16})\cdot e^{-x}[/m]
y`(0)=0
[m]0=e^{0}\cdot(С_{1}\cdot cos (2\cdot 0)+C_{2}\cdot sin (2\cdot 0))+e^{0}\cdot (-2С_{1}\cdot sin2\cdot 0+2C_{2}\cdot cos2\cdot 0 )+\frac{1}{8}\cdot e^{-0}-(\frac{1}{8}\cdot 0+\frac{1}{16})\cdot e^{-0}[/m] ⇒ [m]C_{2}=-\frac{1}{2}[/m]
[m]y_{0}=e^{x}\cdot (\frac{5}{16}\cdot cos2x-\frac{1}{2}\cdot sin2x)+(\frac{1}{8}x+\frac{1}{16})\cdot e^{-x}[/m]- решение задачи Коши