Задача 60241 Нужно решить дифференциальные уравнения...
Условие
Решение
Решаем однородное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами.
y```-y'' +y' -y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^3-k^2+k-1=0
k^2(k-1)+(k-1)=0
(k-1)*(k^2+1)=0
k_(1)=1; k_(2,3)= ± i – корни комплексно-сопряженные
α =0 ; β=1
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее одн.)=[m]С_{1}\cdot e^{x}+C_{2}\cdot cos βx+C_{3}\cdot sin βx[/m]
Правая часть [b]неоднородного[/b] уравнения имеет специальный вид.
Применяем метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения [b]неоднородного[/b] уравнения
Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част. неодн.)=[m](Ax+B)\cdot e^{x}\cdot x[/m]
y`_(част. неодн.)=[m](Ax^2+Bx)\cdot e^{x}[/m]
Находим
y`_(част. неодн.)=[m](Ax^2+Bx)`\cdot e^{x}+(Ax^2+Bx)\cdot (e^{x})`=(2Ax+B)\cdot e^{x}+(Ax^2+Bx)\cdot e^{x}=(Ax^2+(B+2A)\cdot x+B)\cdot e^{x}[/m]
y``_(част. неодн.)=[m](Ax^2+(B+2A)\cdot x+B)`\cdot e^{x}+(Ax^2+(B+2A)\cdot x+B)\cdot (e^{x})`=(Ax^2+(B+4A)\cdot x+(2B+2A))\cdot e^{x}[/m]
y```_(част. неодн.)=[m](Ax^2+(B+6A)\cdot x+(3B+6A))\cdot e^{x}[/m]
Подставляем в данное уравнение:
[m](Ax^2+(B+6A)\cdot x+(3B+6A))\cdot e^{x}-(Ax^2+(B+4A)\cdot x+(2B+2A))\cdot e^{x}+(Ax^2+(B+2A)\cdot x+B)\cdot e^{x}-(Ax^2+Bx)\cdot e^{x}=2xe^{x}[/m]
⇒
Равенство двух многочленов:
[m]4Ax+(2B+4A)=2x[/m]
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной:
[m]\left\{\begin {matrix}4A=2\\2B+4A=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}A=\frac{1}{2}\\B=-1\end {matrix}\right.[/m]
y_(част. неодн.)=[m](\frac{1}{2}x-1)\cdot x\cdot e^{x}[/m]
Тогда
y_(общее неодн)=y_(общее однород)+y_(частное однород)=
[m]=С_{1}\cdot e^{x}+C_{2}\cdot cos βx+C_{3}\cdot sin βx+(\frac{1}{2}x-1)\cdot x\cdot e^{x}\cdot x[/m]
2.
Линейное [b]неоднородное[/b] уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y`` -9y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-9=0
(k-3)*(k+3)=0
k_(1)=3; k_(2)=-3 – корни действительные различные
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее одн.)=[m]С_{1}\cdot e^{3x}+C_{2}\cdot e^{-3x} [/m]
Правая часть [b]неоднородного[/b] уравнения является суммой двух функций специального вида:
[m] f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)[/m]
Применяем метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения [b]неоднородного[/b] уравнения
для [m]f_{1}(x)=3e^{3x}[/m]
Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част. неодн._(1))=[m]A\cdot e^{3x}\cdot x[/m]
y`_(част. неодн._(1))=[m](A\cdot e^{x}\cdot x)`=A\cdot e^{3x}\cdot (3x)`\cdot x+A\cdot e^{3x}\cdot (x)`=(3Ax+A)\cdot e^{3x}[/m]
y``_(част. неодн._(1))=[m](3Ax+A)`\cdot e^{3x}+(3Ax+A)\cdot (e^{3x})`=3A\cdot e^{3x}+(3Ax+A)\cdot e^{3x}\cdot (3x)`=(9Ax+6A)\cdot e^{3x}[/m]
Подставляем в уравнение:
[m](9Ax+6A)\cdot e^{3x}-9Ax\cdot e^{3x}=3e^{3x}[/m] ⇒ [m]6A=3[/m] ⇒ [m]A=\frac{1}{2}[/m]
y_(част. неодн._(1))=[m]\frac{1}{2}\cdot e^{3x}\cdot x[/m]
для [m]f_{2}(x)=-cosx[/m]
Частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част. неодн._(2))=[m]M cos x+N sinx[/m]
Находим
y`_(част. неодн._(2))=[m]M(-sin x)+N cosx[/m]
y_(част. неодн._(2))=[m]-M cos x-N sinx[/m]
Подставляем в уравнение:
[m]-M cos x-N sinx-9\cdot (M cos x+N sinx)=-cosx[/m]
[m]-10Mcosx-10Nsinx=-cosx[/m]
[m]-10M=-1[/m] ⇒ [m]M=0,1[/m]
[m]-10N=0[/m] ⇒ [m]N=0[/m]
y_(част. неодн._(2))=[m]0,1 cos x[/m]
y_(частное однород)=y_(част. неодн._(1))+y_(част. неодн._(2))=[m]\frac{1}{2}\cdot e^{3x}\cdot x+0,1 cos x[/m]
y_(общее неодн)=y_(общее однород)+y_(частное однород)=
[m]=С_{1}\cdot e^{3x}+C_{2}\cdot e^{-3x}+\frac{1}{2}\cdot e^{3x}\cdot x+0,1 cos x[/m]