Задача 60212 Найти общее решение дифференциальных...
Условие
Решение
Замена:
[m]u=\frac{y}{x}[/m]
[m]y=u\cdot x[/m]
Находим
[m]y`=u`\cdot x+u\cdot x`[/m]
x`=1
[m]y`=u`\cdot x+u[/m]
Подставляем в данное уравнение:
[m]u`\cdot x+u=u^2+7u+8[/m]
[m]u`\cdot x=u^2+6u+8[/m]
[m]u`=\frac{du}{dx}[/m]
[m]\frac{du}{dx}\cdot x=u^2+6u+8[/m] - уравнение с разделяющимися переменными
[m]\frac{du}{u^2+6u+8}=\frac{dx}{x}[/m]
Интегрируем:
[m] ∫ \frac{du}{u^2+6u+8}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]
[m] ∫ \frac{du}{u^2+6u+9-1}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]
[m] ∫ \frac{du}{(u+3)^2-1}= ∫ \frac{dx}{x}[/m]
[m]\frac{1}{2}ln|\frac{u+3-1}{u+3+1}|=ln|x|+lnC_{1}[/m]
[m]ln|\frac{u+3-1}{u+3+1}|=2ln|x|+lnC[/m]
[m]ln|\frac{u+3-1}{u+3+1}|=ln C|x|^2[/m]
[m]\frac{u+3-1}{u+3+1}= Cx^2[/m]
[m]\frac{\frac{y}{x}+3-1}{\frac{y}{x}+3+1}= Cx^2[/m] - общее решение