Задача 60205 Дана функция z=f(x,y). Найти: 1)полный...
Условие
1)полный дифференциал dz
2)частные производные второго порядка
z=tgx/y
Решение
[m]dz=\frac{ ∂z }{ ∂x }dx+\frac{ ∂z }{ ∂y }dy[/m]
Находим
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(\frac{tgx}{y})`_{x}=\frac{1}{y}\cdot (tgx)`_{x}=\frac{1}{y}\cdot \frac{1}{cos^2x}=\frac{1}{y\cdot cos^2x}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=(\frac{tgx}{y})`_{y}=tgx\cdot (\frac{1}{y})`_{y}=tgx\cdot (-\frac{1}{y^2})=-\frac{tgx}{y^2}[/m]
[m]dz=\frac{1}{y\cdot cos^2x}dx-\frac{tgx}{y^2}dy[/m]
2)
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x^2 }=(\frac{ ∂z }{ ∂x })`_{x}=(\frac{1}{y\cdot cos^2x})`_{x}=\frac{1}{y}\cdot (\frac{1}{cos^2x})`_{x}=...[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x ∂y }=(\frac{ ∂z }{ ∂x })`_{y}=(\frac{1}{ cos^2x}\cdot (\frac{1}{y})`_{y}=...[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂y^2 }=(\frac{ ∂z }{ ∂y })`_{y}=(-\frac{tgx}{y^2})`_{y}=-tgx\cdot (\frac{1}{y^2})`_{y}=...[/m]