Задача 60194 постройте график функции y=f(x),...

60c06310a1c50e1d3043d13e

09.06.2021 09:56:04

постройте график функции y=f(x), используя общую схему исследования функции
p.s желательно в первую очередь сделать под буквой "а" (опубликовал двумя отдельными вопросами)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

09.06.2021 13:11:37

★

Область определения (- ∞ ;2)U(2;+ ∞ )

Функция не является ни чётной, ни нечётной, ни периодической

Область определения не симметрична относительно 0 и

[m] y(-x)=\frac{(1- (-x))^3}{(-x-2)^2}=\frac{1+x)^3}{(x+2)^2}[/m]

[m]y(-x) ≠ y(x)[/m] и [m]y(-x) ≠- y(x)[/m]


Прямая [m] x=2 [/m] является [i] вертикальной[/i] асимптотой.

Так как [m] lim_{x → 2}\frac{(1-x)^3}{(x-2)^2}=- ∞ [/m]


[i]Горизонтальных[/i] асимптот нет, так как

[m] lim_{x → ∞}\frac{(1-x)^3}{(x-2)^2}= ∞ [/m]


Наклонная асимптота:

[m] k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}= lim_{x → ∞}\frac{(1-x)^3}{x(x-2)^2}= -1 [/m]

[m]k=-1[/m]

Тогда

[m]b= lim_{x → ∞}(f(x)-kx)= lim_{x → ∞}(\frac{(1-x)^3}{(x-2)^2}-(-1)x)= lim_{x → ∞}\frac{(1-x)^3+x(x-2)^2}{(x-2)^2}= lim_{x → ∞}\frac{1-3x+3x^2-x^3+x^3-4x^2+4x}{(x-2)^2}=-1[/m]

[m]y=-x-1[/m] - [i] наклонная асимптота[/i].


[b]Исследование с помощью первой производной[/b]:

[m]y`=\frac{((1-x)^3)`\cdot (x-2)^2-(1-x)^3\cdot((x-2)^2)`}{((x-2)^2)^2}[/m]

[m]y`=\frac{3\cdot (1-x)^2\cdot (1-x)`-(1-x)^3\cdot 2(x-2)^2\cdot (x-2)`}{(x-2)^4}[/m]

[m]y`=-\frac{(x-2)(1-x)^2)\cdot (3x-6+2-2x)}{(x-2)^4}[/m]

[m]y`=-\frac{(1-x)^2)\cdot (x-4)}{(x-2)^3}[/m]

[m]y`=0[/m]

x=1; x=4

Расставляем знак производной на области определения:

____-_ (1) ___-___ (2) ____+__ (4) ___-__

y`>0 на (2;4)
Значит функция [i]возрастает [/i]на (2;4)

y`<0 на (- ∞ ; -1) и на (-1;-2) и на (4;+ ∞)

Значит, функция [i]убывает [/i]на (4;9) на (- ∞ ; -1) и на (-1;-2) и на (4;+ ∞)


x=4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

[m]y(4)=\frac{(1-4)^3}{(4-2)^2}=\frac{(-3)^3}{2^2}=-\frac{27}{4}=-6\frac{3}{4}[/m]



[b]Исследование с помощью второй производной:[/b]


[m]y``=(y`)`=(-\frac{(1-x)^2)\cdot (x-4)}{(x-2)^3})`=-\frac{( (1-x)^2\cdot (x-4))`\cdot (x-2)^3-(1-x)^2\cdot (x-4)\cdot ((x-2)^3)`}{((x-2)^3)^2}[/m]


[m]y``=-\frac{2\cdot (1-x)\cdot (-1)\cdot (x-4)\cdot (x-2)^3+(1-x)^2\cdot (x-2)^2-(1-x)^2\cdot (x-4)\cdot 3(x-2)^2}{(x-2)^6}[/m]

[m]y``=+\frac{(1-x)\cdot (x-2)^2\cdot (2(x-4)(x-2)+(x-1)(x-2)+(3-3x)(x-4)}{(x-2)^6}[/m]

Раскрываем скобки в числителе.

[m]y``=\frac{(1-x)(2x^2-12x+16+x^2-3x+2+3x-3x^2-12+12x)}{(x-2)^4}[/m]



[m]y``= \frac{(1-x)(x^2+18)}{(x-2)^4}[/m]

[m]y`` >0 [/m] на (- ∞ ; 1) ⇒ функция выпукла вниз на (- ∞ ; 1)

[m]y`` <0 [/m] на (1; 2) и на (2;+ ∞ ) ⇒ функция выпукла вверх на (1; 2) и на (2;+ ∞ )