Задача 60193 Постройте график функции y=f(x),...
Условие
Решение
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
Функция непрерывна, так как является многочленом
[b]Исследование функции с помощью первой производной:[/b]
y`=(x^3-6x^2-15х-8)`= 3x^2-12x-15
y`=0
3x^2-12x-15=0
Делим на 3:
x^2-4x-5=0
D=(-4)^2-4*(-5)=16+20=36
x=[m]\frac{4\pm6}{2}[/m]
x_(1)=-1; x_(2)=5
Расставляем знак производной ( y`=3x^2-12x-15 - графиком этой функции является парабола, ветви вверх, поэтому на (1;11) производная отрицательна, на двух остальных - положительна):
__+__ (-1) __-___ (5) __+__
y`>0 на (- ∞ ;-1) и на (5;+ ∞ ),
значит функция [i] возрастает[/i] на (- ∞ ;-1) и на (5;+ ∞ )
y`< 0 на (-1 ;5),
значит функция [i]убывает[/i] на (-1 ;5),
х=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
у(-1)=(-1)^3-6*(-1)^2-15*(-1)-8=-1-6+15-8=[b]0[/b]
х=5 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y(5)=5^3-6*5^2-15*5-8=[b]-108[/b]
[b]Исследование функции с помощью второй производной:[/b]
y``=(y`)`=(3x^2-12x-15)`=6x-12
y``=0
6x-12=0
x=2- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( - ∞ ;2) и выпукла вниз на (2;+ ∞ )
См. график на рис .
