Задача 60191 ...
Условие
Решение
(2-x)^(n)=(-1)^(n)*(x-2)^(n)
∑ a_(n)(x-2)^(n)
a_(n)=(-1)^(n)\cdot[m] sin\frac{π}{2^{n}}[/m]
Так как [m] sinx ∼ x[/m] при [m]x → 0[/m]
[m] sin\frac{π}{2^{n}}∼\frac{π}{2^{n}}[/m]при [m]n → ∞ [/m]
[m]R=lim_{n → ∞ }|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|=lim_{n → ∞ }|\frac{(-1)^{n}\cdot sin\frac{π}{2^{n}}}{(-1)^{n+1}\cdot sin\frac{π}{2^{n+1}}}|=lim_{n → ∞ }|-\frac{\frac{π}{2^{n}}}{\frac{π}{2^{n+1}}}|=2[/m]
(-R;R) - интервал сходимости ряда Σ a_(n)x^(n)
(2-R;2+R) - интервал сходимости ряда Σ a_(n)(x-2)^(n)
(2-2;2+2)=(0;4) интервал сходимости данного ряда
Осталось проверить сходимость на концах
При x=0 получаем числовой ряд
Σ [m] 2^{n}\cdot sin\frac{π}{2^{n}}[/m] который эквивалентен ряду Σ [m] 2^{n} \frac{π}{2^{n}}[/m] , который расходится, так как его n-ая частичная сумма S_(n)=n*π → ∞
При x=4 получаем числовой ряд
Σ [m] (-2)^{n}\cdot sin\frac{π}{2^{n}}[/m] который эквивалентен ряду Σ [m] (-2)^{n} \frac{π}{2^{n}}[/m] , который расходится, так как последовательность его частичных сумм не имеет предела.
О т в е т. Область сходимости ряда (0;4)