Задача 60187 Формула грина...
Условие
математика
320
Решение
★
[m]P(x;y)=(x-y)^2[/m]
[m]Q(x;y)=(x+y)[/m]
По формуле Грина:
[m] \oint{P(x;y)dx+Q(x;y)dy}= ∫ ∫_{D}(\frac{ ∂Q}{ ∂x}-\frac{ ∂P}{ ∂y})dxdy [/m]
Находим
[m]\frac{ ∂Q}{ ∂x}=(x+y)`_{x}=1[/m]
[m]\frac{ ∂P}{ ∂y}=((x-y)^2)`_{y}=2(x-y)\cdot (x-y)`_{y}=-2(x-y)[/m]
[m] \frac{ ∂Q}{ ∂x}-\frac{ ∂P}{ ∂y}=1+2(x-y)=1+2x-2y [/m]
[m] \oint{(x-y)^2dx+(x+y)dy}= ∫ ∫_{ Δ АОВ}(1+2x-2y)dxdy = ∫_{0}^{1}( ∫ _{0}^{x}(1+2x-2y)dy) dx= [/m]
[m]= ∫_{0}^{1}(y+2xy-y^2)| _{0}^{x})dx= ∫ _{0}^{1}(x+2x^2-x^2)dx= ∫ _{0}^{1}(x^2+x)dx=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})| _{0}^{1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}[/m]
