Задача 60186 Показать, что интеграл не зависит от...
Условие
интегрирования и вычислить его
Решение
[m]P(x;y)=\frac{y}{x^2}[/m]
[m]Q(x;y)=-\frac{x}{x^2}=-\frac{1}{x}[/m]
Условием независимости криволинейного интеграла [m] ∫_{L}P(x;y)dx+Q(x;y)dy[/m] от пути интегрирования
является равенство:
[m]\frac{ ∂Q}{ ∂x}=\frac{ ∂P}{ ∂y}[/m]
Находим
[m]\frac{ ∂Q}{ ∂x}=(-\frac{1}{x})`_{x}=-(-\frac{1}{x^2})=\frac{1}{x^2}[/m]
[m]\frac{ ∂P}{ ∂y}=(\frac{y}{x^2})`_{y}=\frac{1}{x^2}\cdot (y)`_{y}=\frac{1}{x^2}[/m]
Вычислим интеграл [b]по прямой[/b], соединяющей точки (2;1) и (1;2).
Составляем уравнение прямой:
[m]y=kx+b[/m]
Подставляем координаты точек. Получаем систему:
[m]\left\{\begin {matrix}1=k\cdot 2+b\\2=k\cdot 1+b\end {matrix}\right.[/m]
Вычитаем из первого второе:
[m]k=-1;[/m]
[m]b=3[/m]
[m]y=-x+3[/m]
dy=-dx
Тогда
[m] ∫\frac{ydx-xdy}{x^2}= ∫_{2}^{1}\frac{(-x+3)dx-x\cdot (-dx)}{x^2}=∫_{2}^{1}\frac{3}{x^2}dx=-(\frac{3}{x})|_{2}^{1}=-1,5 [/m]