Задача 60183 y''+5y'+6y=10(1-x)e^-2x...
Условие
Решение
Это линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
[m]y``+5y`+6y=0[/m]
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+5k+6=0
D=25-24=1
k_(1)=-3 и k_(2)=-2 - корни действительные различные,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)e^(k_(2)x) - общее решение однородного уравнения
Подставляем :
y_(общее одн)=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(-2x)
Правая часть неоднородного[/b] дифференциального уравнения имеет [i]специальный[/i] вид:
[m]f(x)=10(1–x)e^{–2x}[/m]
правая часть содержит e^(-2x)
k=-2 - является корнем характеристического уравнения
поэтому частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част неодн. )=(Ax+B)[b]x[/b]*e^(-2x) =(Ax^2+Bx)*e^(-2x)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част неодн. )=(Ax^2+Bx)`*e^(-2x) +(Ax^2+Bx)*(e^(-2x) )`=(2Ax+B)*e^(-2x)+(Ax^2+Bx)*e^(-2x)*(-2x )`=
=e^(-2x)*(2Ax+B-2Ax^2-2Bx)
y``_(част неодн. )=(e^(-2x))`*(2Ax+B-2Ax^2-2Bx)+e^(-2x)*(2Ax+B-2Ax^2-2Bx)`=e^(-2x)*(-4Ax-4B+4Ax^2+4Bx)+e^(-2x)*(2A-4Ax-2B)=
e^(-2x)*(-4Ax-2B+4Ax^2+4Bx+2A-4Ax-2B)=e^(-2x)*(4Ax^2-8Ax+4Bx-2A-4B)
подставляем в данное уравнение:
e^(-2x)*(4Ax^2-8Ax+4Bx-2A-4B) + 5* e^(-2x)*(2Ax+B-2Ax^2-2Bx)+6*e^(-2x) *(Ax^2+Bx)=10*(1-x)*e^(-2x)
(4Ax^2-8Ax+4Bx-2A-4B) +5*(2Ax+B-2Ax^2-2Bx)+6*(Ax^2+Bx)=10*(1-x)
[u]-8A[/u]x[u]+4B[/u]x-2A-4B[u]+10A[/u]x+5B[u]-10B[/u]x+[u]6B[/u]x=[u]-10[/u]x+10
2Ax+(-2A+B)=-10x+10
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
2A=-10 ⇒ A=-5
-2A+B=10 ⇒ B=20
О т в е т.
y_(общее неодн) =y_(общее одн)+y_(част неодн)[b]y=C_(1)e^(-3x)+C_(2)e^(-2x)+(-5x^2+20x)e^(-2x)[/b]