Задача 60181 дифференциальные уравнения...
Условие
Решение
[m]y``-3y`+2y=(x^2+x)\cdot e^{3x}[/m]-это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
[m]y``-3y`+2y=0[/m]
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-3k+2=0
D=9-8=1
k_(1)=1; k_(2)=2 - корни действительные различные
Тогда общее решение однородного дифференциального уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид:
y=C_(1)e^(k_(1)*x)+C_(2)*e^(k_(2)*x)
[b]y= C_(1)* e^(x)+C_(2)*e^(2x)[/b] - общее решение уравнения [m]y``-3y`+2y=0[/m]
Правая часть неоднородного уравнения имеет "специальный" вид
[m]f(x)=(x^2+x)\cdot e^{3x}[/m]
Поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид:
y_(частное неоднородного)=(Аx^2+Bx+C)*e^(3x)
Находим
y`_(частное неоднородного)=((Аx^2+Bx+C)*e^(3x))`=(Аx^2+Bx+C)`*e^(3x)+(Аx^2+Bx+C)*(e^(3x))`=
=(2Ax+B)*e^(3x)+(Аx^2+Bx+C)*e^(3x)*3=e^(3x)*(2Ax+B+3Ax^2+3Bx+3C)=e^(3x)*(3Ax^2+2Ax+3Bx+3C+B)
y``_(частное неоднородного)=e^(3x)*3*(3Ax^2+2Ax+3Bx+3C+B)+e^(3x)*(6Ax+2A+3B)=
=e^(3x)*(9Ax^2+6Ax+9Bx+9C+3B+6Ax+2A+3B)=e^(3x)*(9Ax^2+12Ax+9Bx+2A+6B+9C)
Подставляем в данное уравнение
[m]e^{3x}(9Ax^2+12Ax+9Bx+2A+6B+9C) -3e^{3x}(3Ax^2+2Ax+3Bx+3C+B)+2(Аx^2+Bx+C)e^{3x}=(x^2+x)\cdot e^{3x}[/m]
[m]9Ax^2+12 Ax+9 Bx+2 A+6 B+9 C-9Ax^2-6Ax-9Bx-9C-3B+2Аx^2+2Bx+2C=x^2+x[/m]
[m]2Ax^2+6Ax+2Bx+2A+3B+2C=x^2+x[/m]
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной.
Получаем систему трех уравнений
{2A=1 ⇒ A=1/2 подставляем во второе и третье
{6A+2B=1 ⇒ 3+2В=1 ⇒ В=-1
{2A+3B+2C=0 ⇒ 2*(1/2)+3*(-1)+2С=0 ⇒ С=1
y_(частное неоднородного)=((1/2)x^2-x+1)*e^(3x)
О т в е т. y_(общее неодн)=y_(общее однород)+y_(частн неодн)=
y= [b]C_(1) *e^(x)+C_(2)*e^(2x) +((1/2)x^2-x+1)*e^(3x)[/b]
2.
[m]y```+4y`=x-1+cos4x[/m]-это линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
[m]y```+4y`=0[/m]
Составляем характеристическое уравнение:
k^3+4k=0
k*(k^2+4)=0
k_(1) =0; k_(2)=-2i; k_(3)=2i -
корни 2 и 3 комплексно сопряженные вида α ± β*i
Тогда общее решение однородного дифференциального уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид:
y=C_(1)e^(k_(1)*x)+e^( α)*( C_(2)cosβx+C_(3)sinβx)
[b]y= C_(1)+C_(2)cos2x+C_(3)sin2x[/b] - общее решение уравнения [m]y``+4y`=0[/m]
e^(0)=1
Правая часть неоднородного уравнения имеет "специальный" вид
[m]f(x)=x-1+cos4x[/m]
f_(1)=(x-1)
f_(2)=cos4x
тогда
y_(частное_(1) неоднородного)=(Аx+B)*x=Ax^2+Bx
потому что x=0 - корень характеристического уравнения кратности 1
y`_(частное_(1) неоднородного)=2Ax+B
y``_(частное_(1) неоднородного)=2A
y```_(частное_(1) неоднородного)=0
Подставляем в уравнение[m]y```+4y`=x-1[/m]
0+4*(2Ax+B)=x-1
8A=1 ⇒ A=1/8
4B=-1⇒ B=-1/4
[b]y_(частное_(1) неоднородного)=(1/8)x^2-(1/4)x[/b]
Аналогично, для
f_(2)(x)=cos4x
y_(частное_(2) неоднородного)=Acos4x+Bsin4x
y`_(частное_(2) неоднородного)=-4Asin4x+4Bcos4x
y``_(частное_(2) неоднородного)=-16Acos4x-16Bsin4x
y```_(частное_(2) неоднородного)=64Asin4x-64Bcos4x
Подставляем в уравнение
[m]y```+4y`=cos4x[/m]
64Asin4x-64Bcos4x+4(-4Asin4x+4Bcos4x)=cos4x
48A=0 ⇒ A=0
-48B=1 ⇒ B=-1/48
[b]y_(частное_(2) неоднородного)=(-1/48)sin4x[/b]
О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн_(1) неодн)+у_(частн_(2) неодн)
y= C_(1)+C_(2)cos2x+C_(3)sin2x+(1/8)x^2-(1/4)x+(-1/48)sin4x