Задача 60178 Вычислить производную y=(tgx)^(4e^x)...
Условие
Решение
Логарифмируем данную функцию:
[m]lny=ln(tgx)^{4e^{x}}[/m]
Применяем свойства логарифма степени:
[m]lny=4e^{x}\cdot ln(tgx)[/m]
Дифференцируем, при этом y=y(x) и потому для вычисления производной [m]lny[/m] применяем правило нахождения производной сложной функции:
[m](lny)`=(4e^{x}\cdot ln(tgx))`[/m]
Справа произведение функций, применяем правило вычисления производной произведения:
[m]\frac{1}{y}\cdot y`=(4e^{x})`\cdot (ln(tgx))+4e^{x}\cdot( ln(tgx))`[/m]
[m]\frac{1}{y}\cdot y`=4e^{x}\cdot (ln(tgx))+4e^{x}\cdot\frac{1}{tgx}\cdot (tgx)`[/m]
[m]\frac{1}{y}\cdot y`=4e^{x}\cdot (ln(tgx))+4e^{x}\cdot\frac{1}{tgx}\cdot (\frac{1}{cos^2x})[/m]
Умножаем обе части равенства на y:
[m] y`=4e^{x}y\cdot (ln(tgx))+4e^{x}y\cdot\frac{1}{tgx\cdot cos^2x}[/m]
Так как [m]y=(tgx)^{4e^{x}}[/m]
получаем ответ:
[m] y`=4e^{x}(tgx)^{4e^{x}}\cdot (ln(tgx))+4e^{x}(tgx)^{4e^{x}}\cdot\frac{1}{tgx\cdot cos^2x}[/m]
[m] y`=4e^{x}(tgx)^{4e^{x}}\cdot( (ln(tgx))+\frac{1}{\frac{sinx}{cosx}\cdot cos^2x})[/m]
[m] y`=4e^{x}(tgx)^{4e^{x}}\cdot( (ln(tgx))+\frac{1}{sinx\cdot cosx})[/m]
Все решения
