Задача 60152 Дано скалярное поле F(x,y,z(x,y))=0 и...
Условие
Найти:
градиент скалярного поля в точке (данные на скрине 1);
производные по направлению вектора (данные на скрине 1) и вектора, перпендикулярного к нему, в точке M0;
производную по направлению вектора (данные на скрине 1) в точке М0 и производную в этом же направлении в точке. Выяснить характер изменения поля в точках М0 и М1.
(входные данные скрин 2)
Решение
Функция задана неявно
[m]F(x;y;z(x;y))=\sqrt{3x+4y+z}+(z-1)(z-12)-1[/m]
Находим
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=-\frac{F`_{x}(x;y;z(x;y))}{F`_{z}((x;y;z(x;y))}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=-\frac{F`_{y}(x;y;z(x;y))}{F`_{z}((x;y;z(x;y))}[/m]
[m]F`_{x}(x;y;z(x;y))=\frac{1}{2\sqrt{3x+4y+z}}\cdot (3x+4y+z)`_{x}+0-0=\frac{3}{2\sqrt{3x+4y+z}}[/m]
[m]F`_{y}(x;y;z(x;y))=\frac{1}{2\sqrt{3x+4y+z}}\cdot (3x+4y+z)`_{y}+0-0=\frac{4}{2\sqrt{3x+4y+z}}[/m]
[m]F`_{z}((x;y;z(x;y)=\frac{1}{2\sqrt{3x+4y+z}}\cdot (3x+4y+z)`_{z}+(z^2-13z+12)`_{z}-0=\frac{1}{2\sqrt{3x+4y+z}}+2z-13[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=-\frac{F`_{x}(x;y;z(x;y))}{F`_{z}(x;y;z(x;y))}=-\frac{\frac{3}{2\sqrt{3x+4y+z}}}{\frac{1}{2\sqrt{3x+4y+z}}+2z-13}[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=-\frac{F`_{y}(x;y;z(x;y))}{F`_{z}(x;y;z(x;y))}=-\frac{\frac{4}{2\sqrt{3x+4y+z}}}{\frac{1}{2\sqrt{3x+4y+z}}+2z-13}[/m]
[m]\vec{grad z}=\frac{ ∂z }{ ∂x }\vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }\vec{j}=-\frac{\frac{3}{2\sqrt{3x+4y+z}}}{\frac{1}{2\sqrt{3x+4y+z}}+2z-13}\vec{i}-\frac{\frac{4}{2\sqrt{3x+4y+z}}}{\frac{1}{2\sqrt{3x+4y+z}}+2z-13}\vec{j}[/m]
[m]\vec{grad z}|_{M_{o}}=[/m] подставляем координаты точки М_(o)=(0;0)
[m]z(M_{o})=1[/m] находим из уравнения функции:
[m]\sqrt{3\cdot 0+4\cdot 0+z}+(z-1)(z-12)-1=0[/m] ⇒ [m]\sqrt{z}+z^2-13z+12-1=0[/m] ⇒ z=1
Решаем уравнение [i]заменой переменной[/i]: [m]\sqrt{z}=t[/m] ⇒ [m]z=t^2[/m]
[m]t+(t^2)^2-13t^2+11=0[/m] ⇒ z=1
[m]\vec{grad z}|_{M_{o}}=[m]\vec{grad z}|_{(0;0;1)}=-\frac{\frac{3}{2\sqrt{3\cdot 0+4\cdot 0+1}}}{\frac{1}{2\sqrt{3\cdot 0+4\cdot 0+1}})+2\cdot 1-13}\vec{i}-\frac{\frac{4}{2\sqrt{3\cdot 0+4\cdot 0+1}}}{\frac{1}{2\sqrt{3\cdot 0+4\cdot 0+1}})+2\cdot 1-13}\vec{j}=\frac{3}{21}\vec{i}+\frac{4}{21}\vec{j}[/m]
Направление, перпендикулярное вектору [m]\vec{grad z}|_{M_{o}}[/m]
Направление заданное вектором [m]\vec{M_{o}M_{1}}=(-1-0;-2-0)=(-1;-2)[/m]
Производная по этому направлению:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }=\frac{ ∂z }{ ∂x }\cdot cos α+\frac{ ∂z }{ ∂y }\cdot cos β =-\frac{\frac{3}{2\sqrt{3x+4y+z}}}{\frac{1}{2\sqrt{3x+4y+z}}+2z-13}\cdot cos α-\frac{\frac{4}{2\sqrt{3x+4y+z}}}{\frac{1}{2\sqrt{3x+4y+z}}+2z-13}\cdot cos β [/m]
cos α и cos β - направляющие косинусы направления, т.е вектора [m]\vec{M_{o}M_{1}}=(-1;-2)[/m]
[m]cos α =\frac{}{}
Производная по этому направлению в точке M_(o):