Задача 60145 Вычислить определенный интеграл с...

60b3dc1aa1c50e1d304386a5

05.06.2021 19:51:45

Вычислить определенный интеграл с помощью разложения
подынтегральной функции в степенной ряд. Обеспечить абсолютную
погрешность
h < 0,001

5f3ea7e3faf909182968ddd9

05.06.2021 20:10:08

★

[m]e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+... +\frac{x^{n}}{n!}+...[/m]

[m]e^{-3x^2}=1+(-3x^2)+\frac{(-3x^2)^2}{2!}+\frac{(-3x^2)^3}{3!}+... +\frac{(-3x^2)^{n}}{n!}+...[/m]-это знакочередующийся ряд.

[m]e^{-3x^2}=1-3x^2+\frac{(9x^4}{2!}-\frac{27x^6)}{3!}+... +\frac{(-3)^{n}x^{2n}}{n!}+...[/m]

Ряд сходится. Значит, справедливо свойство интеграла:
интеграл от суммы равен сумме интегралов

[m]∫_{0}^{0,3} e^{-3x^2}dx= ∫_{0}^{0,3} (1-3x^2+\frac{9x^4}{2!}-\frac{27x^6}{3!}+... +\frac{(-3)^{n}x^{2n}}{n!}+...)dx=[/m]

[m]= ∫_{0}^{0,3} dx-3 ∫_{0}^{0,3} x^2dx+\frac{9}{2!} ∫_{0}^{0,3} x^4dx-\frac{27}{3!} ∫_{0}^{0,3} x^6dx+...=[/m]

[m]=(x)|_{0}^{0,3}-3\cdot (\frac{x^3}{3})|_{0}^{0,3}+\frac{9}{2!}\cdot (\frac{x^5}{5})|_{0}^{0,3}-\frac{27}{3!}\cdot (\frac{x^7}{7!})|_{0}^{0,3}+...=[/m]

[m]=0,3-3\cdot (\frac{0,3^3}{3})+\frac{9}{2!}\cdot (\frac{0,3^5}{5})-\frac{27}{3!}(\frac{0,3^7}{7!})+...=[/m]

считаем каждое слагаемое.

Обеспечить абсолютную погрешность h < 0,001


Погрешность при замене знакочередующегося ряда алгебраической суммой нескольких слагаемых

не превышает первого отброшенного слагаемого по модулю.

Значит, оставляем только те слагаемые, которые по модулю больше 0, 001