Задача 60142 Найти наибольшее и наименьшее значения...
Условие
Решение
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(x^2+xy-2)`_{x}=2x+y[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=(x^2+xy-2)`_{y}=x[/m]
Находим [i]стационарные точки[/i]:
{2x+y=0
{x=0
(0;0) - стационарная точка, не является внутренней точкой области.
Поэтому исследуем функцию на границе
1)
[b]y=0[/b] при [m]-1 ≤x ≤ 1[/m]
z=x^2+x*0-2=x^2-2
Получили функцию одной переменной.
Эт квадратичная функция. Принимает наименьшее значение в точке x=0
[red]z(0)[/red]=[b]-2[/b]
Значения функции на концах отрезка [-1;1], в точках [m]x=-1[/m] и [m]x=1[/m]:
[red]z(-1)=z(1)[/red]=1-2=[b]-1[/b]
2)
[b]y=4x^2-4[/b] при [m]-1 ≤x ≤ 1[/m]
z=x^2+x*(4x^2-4)-2=4x^3+x^2-4x-2
Получили функцию одной переменной.
Исследуем с помощью первой производной:
z`=12x^2+2x-4
z`=0
12x^2+2x-4=0
6x^2+x-2=0
D=1-4*6*(-2)=49
x=-2/3 или x=1/2
Находим значения в этих точках:
[red]z(-2/3)[/red]=4(-2/3)^3+(-2/3)^2-4*(-2/3)x-2=... считайте
[red]z(1/2)[/red]=4*(1/2)^3+(1/2)^2-4*(1/2)-2=... считайте
На концах значения вычислены раньше
Выбираем из найденных значений наибольшее и наименьшее:
[red]z(0)[/red]=[b]-2[/b]
[red]z(-1)=z(1)[/red]=1-2=[b]-1[/b]
[red]z(-2/3)[/red]=...
[red]z(1/2)[/red]=...
