Задача 60140 Вычислить неопределенный интеграл...
Условие
Решение
Неправильная дробь ( степень числителя равна степени знаменателя)
Выделяем целую часть:
[m] \frac{3x^3-2}{x^3-x}=\frac{3x^3-3x+3x-2}{x^3-x}=\frac{3x^3-3x}{x^3-x}+\frac{3x-2}{x^3-x}=3+\frac{3x-2}{x^3-x}[/m]
Раскладываем дробь [m]\frac{3x-2}{x^3-x}[/m] на простейшие.
Для этого разложим знаменатель на множители:
[m]x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)[/m]
[m]\frac{3x-2}{x^3-x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{D}{x+1}[/m]
Приводим дроби справа к общему знаменателю.
[m]\frac{3x-2}{x^3-x}=\frac{A(x^2-1)+Bx(x+1)+Dx(x-1)}{x(x-1)(x+1)}[/m]
Приравниваем числители:
[m]3x-2=A(x^2-1)+Bx(x+1)+Dx(x-1)[/m]
При x=0
-2=-A ⇒ A=2
При x=1
3*1-2=A*(1^2-1)+B*1*(1+1)+D*1*(1-1)
1=2B
B=1/2
При x=(-1)
3*(-1)-2=A((-1)^2-1)+B*(-1)*(-1+1)+D*(-1)(-1-1)
-5=2D
D=-5/2
[m]\frac{3x-2}{x^3-x}=\frac{2}{x}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{(-\frac{5}{2})}{x+1}[/m]
[m] ∫ \frac{3x^3-2}{x^3-x}= ∫ (3+\frac{3x-2}{x^3-x})dx= ∫ (3+\frac{2}{x}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{(-\frac{5}{2}}{x+1})dx[/m]
[m]=3x+2ln|x|+\frac{1}{2}ln|x-1|-\frac{5}{2}|x+1|+C[/m]
г)
Замена
[m]\sqrt{\frac{x+1}{x}}=t[/m] ⇒ [m]\frac{x+1}{x}=t^2[/m] ⇒ [m]x+1=xt^2[/m] ⇒ [m]x(t^2-1)=1[/m]
[m]x=\frac{1}{t^2-1}[/m]
[m]dx=(\frac{1}{t^2-1})`dt=-\frac{2t}{(t^2-1)^2}dt[/m]
[m] ∫ \frac{\sqrt{x+1}}{x^2\sqrt{x}}dx= ∫ \frac{t}{(\frac{1}{t^2-1})^2}\cdot (-\frac{2t}{(t^2-1)^2})dt= ∫(-2t^2)dt=-2\cdot \frac{t^3}{3}+C= [/m]
[m]=-\frac{2}{3}(\sqrt{\frac{x+1}{x}})^3+C=-\frac{2(x+1)}{3x}\cdot \sqrt{\frac{x+1}{x}}+C [/m]