Задача 60137 Найти частные производные dz/dx , dz/dy ...
Условие
Решение
Функция задана неявно в виде F(x;y;z)=0⇒
[m] F(x;y;z)=\frac{z}{x}-ln \frac{2z}{y+2}[/m]
Находим
[m]F`_{x}=(\frac{z}{x}-ln \frac{2z}{y+2})`_{x}=z\cdot (\frac{1}{x})`_{x}-0=-\frac{z}{x^2}[/m] при этом y и z - постоянные
[m]F`_{y}=(\frac{z}{x}-ln \frac{2z}{y+2})`_{y}=0-\frac{1}{\frac{2z}{y+2}}\cdot(\frac{2z}{y+2})`_{y}=-\frac{1}{\frac{2z}{y+2}}\cdot(-\frac{2z}{(y+2)^2})= \frac{1}{y+2}[/m] при этом x и z - постоянные
[m]F`_{z}=(\frac{z}{x}-ln \frac{2z}{y+2})`_{z}=\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{2z}{y+2}}\cdot(\frac{2z}{y+2})`_{z}=\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{2z}{y+2}}\cdot(\frac{2}{y+2})=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}[/m] при этом x и y - постоянные
Тогда
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂x}=-\frac{F`_{x}}{F`_{z}}=-\frac{(-\frac{z}{x^2})}{\frac{1}{x}-\frac{1}{z}}=\frac{z^2}{x(z-x)}[/m]; F`_(z) ≠ 0
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂y}=-\frac{F`_{y}}{F`_{z}}=-\frac{\frac{1}{y+2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{z}}=-\frac{xz}{(y+2)\cdot (z-x)}[/m]; F`_(z) ≠ 0.