Задача 60136 ...
Условие
2) Вычислить длину кривой: x=2( cos(t)+t*sin(t) ), y=2( sin(t)-t*cos(t) )
Решение
Найдем площадь одной части ( см. скрин 1) и умножим на 2
[m]S=2\cdot \frac{1}{2} ∫ ^{π}_{0} (2(1+cos φ))^2d φ =4∫ ^{π}_{0} (1+2cos φ+cos^2 φ )d φ=[/m]
[m]=4∫ ^{π}_{0} (1+2cos φ+\frac{1+cos2φ}{2} )d φ=(φ+2 sinφ + \frac{1}{2}φ+\frac{1}{4}sin2φ)|^{π}_{0}=\frac{3}{2}π[/m]
2)
x`(t)=2*(cost+tsint)`=2*((cost)`+t`*sint+t*(sint)`)=2*(-sint+sint+t*cost)=2*t*cost
y`(t)=2*(sint-tcost)`=2*((sint)`-t`*cos-t*(cost)`)=2*(cost-cost-t*(-sint))=2*t*sint
При t=0 ⇒ x=1
Применяем формулу:
L= ∫_(2π) ^(0)\sqrt{(x`(t))^2+(y`(t))^2)dt=∫_(2π) ^(0)[m]\sqrt{(2tcost)^2+(2tsint)^2}dt[m]
=∫_(2π) ^(0)[m]\sqrt{(4t^2((cost)^2+(sint)^2)}dt=2∫_(2π) ^(0)tdt=(t^2)|_(2π) ^(0)t=4π^2
