Задача 60134 Высшая математика, дана функция, нужно...
Условие
Решение
Применяем формулу [m](e^{u})`=e^{u}\cdot u`[/m]
[m]=e^{\frac{y}{x}}\cdot (\frac{y}{x})`_{x}=e^{\frac{y}{x}}\cdot (-\frac{y}{x^2})[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x^2 }=(z`_{x})`_{x}=(e^{\frac{y}{x}}\cdot (-\frac{y}{x^2}))`_{x}=[/m]
применяем правило вычисления производной произведения:
[m]=(e^{\frac{y}{x}})`\cdot (-\frac{y}{x^2})+(e^{\frac{y}{x}})\cdot (-\frac{y}{x^2})`_{x}=[/m]
[m]=e^{\frac{y}{x}}\cdot (\frac{y}{x})`_{x} \cdot (-\frac{y}{x^2})+(e^{\frac{y}{x}})\cdot (- y)\cdot (x^{-2})`_{x}=[/m]
[m]=e^{\frac{y}{x}}\cdot (-\frac{y}{x^2}) \cdot (-\frac{y}{x^2})+(e^{\frac{y}{x}})\cdot (- y)\cdot (-2x^{-3})=[/m]
[m]=e^{\frac{y}{x}}\cdot (\frac{y^2}{x^4}+\frac{2y}{x^3})[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=z`_{y}=(e^{\frac{y}{x}})`_{y}=e^{\frac{y}{x}}\cdot \frac{1}{x}[/m]
[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂y^2 }=(z`_{y})`_{y}=\frac{1}{x}(e^{\frac{y}{x}})`_{y}=e^{\frac{y}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}[/m]
Подставляем в уравнение:
[m](e^{\frac{y}{x}}) \cdot (2x\cdot(-\frac{y}{x^2})+ x^2\cdot( \frac{y^2}{x^4}+\frac{2y}{x^3})-y^2\cdot \frac{1}{x^2})=0[/m]
верно, так как выражение в скобках равно 0