Задача 60128 Дан треугольник АВС с вершинами А (11;...
Условие
а) найдите координаты середины отрезка ВС,
б) найдите координаты и модуль вектора ВС,
в) найдите вектор АВ + BC;
г) докажите перпендикулярность векторов AB и AC
Решение
[m] x_{M}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2};[/m]
[m] y_{M}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2};[/m]
[m] z_{M}=\frac{z_{B}+z_{C}}{2}.[/m]
[m] x_{M}=\frac{2+14}{2}=8;[/m]
[m] y_{M}=\frac{6+2}{2}=4[/m]
[m] z_{M}=\frac{(-4)+(-10)}{2}=-7.[/m]
б)
[m]\vec{BC}=(x_{C}-x_{B};y_{C}-y_{B};z_{C}-z_{B})=(14-2;2-6;-10-(-4))=(12;-4;-6)[/m]
[m]|\vec{BC}|=\sqrt{12^2+(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{144+16+36}=\sqrt{196}=14[/m]
в)
[m]\vec{AB}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})=(2-11;6-(-2);-4-(-9))=(-9;8;5)[/m]
[m]\vec{AB}+\vec{BC}=(12;-4-6)+(-9;8;5)[/m] сложение покоординатное=[m](12+(-9);-4+8;-6+5)=(3;4;-1)[/m]
г)
ненулевые векторы [m]\vec{AB}[/m] и [m]\vec{AС}[/m] перпендикулярны, тогда и только тогда когда их скалярное произведение равно 0
[m]\vec{AС}=(x_{С}-x_{A};y_{С}-y_{A};z_{С}-z_{A})=(14-11;2-(-2);-10-(-9))=(3;4;-1)[/m]
скалярное произведение векторов, заданных координатами, равно сумме произведений одноименных координат:
[m]\vec{AB}\cdot \vec{AС}=-9\cdot 3+8\cdot 4+5\cdot (-1)=-27+32-5=0[/m]