Задача 60117 исследовать функцию и построить график...

60b8fb72a1c50e1d3043a7ab

03.06.2021 20:42:44

исследовать функцию и построить график y=x^3–4x^2+3x
Ответ нужен на бумаге чтобы понятно было , как что и куда:)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

03.06.2021 22:01:45

★

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция не является ни четной, ни нечетной

y(-x)=(-x)^3-4*(-x)^2+3*(-x)=-x^3-4x^2-3x

y(-x) ≠ y(x)

и

y(-x) ≠ -y(x)


Исследуем с помощью первой производной

Находим первую производную

y`=(x^3-4x^2+3x)`

y`=(x^3)`-4*(x^2)`+3*(x)`

y`=3x^2-4*2x+3*1

y`=3x^2-8x+3


Находим точки, в которых производная обращается в нуль.

( их называют стационарными точками)

3x^2-8x+3=0

D=64-4*3*3=28

x_(1)=(8-4sqrt(7))/6; x_(2)=(8+4sqrt(7))/6.

x_(1)=(4-2sqrt(7))/3; x_(2)=(4+2sqrt(7))/3.

Расставляем знак производной:

___+____ ((4-2sqrt(7))/3) _____-____ ((4+2sqrt(7))/3) ____+___


y`>0 при x ∈ (- ∞ ; (4-2sqrt(7))/3) и при x ∈ ((4+2sqrt(7))/3; + ∞ )

функция возрастает на (- ∞ ; (4-2sqrt(7))/3) и на ((4+2sqrt(7))/3; + ∞ )


y`<0 при x ∈ ((4-2sqrt(7))/3;(4+2sqrt(7))/3)

функция убывает на ((4-2sqrt(7))/3;(4+2sqrt(7))/3)


x=(4-2sqrt(7))/3 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

х=(4+2sqrt(7))/3- точка минимума, производная меняет знак с - на +


Исследуем с помощью второй производной

Находим вторую производную

y``=(y`)`=(3x^2-8x+3)`=6x-8

y``=0

6x-8=0

x=4/3 - точка перегиба., вторая производная меняет знак с - на +

y`` < 0 при х ∈ (- ∞ ;(4/3))

кривая выпукла вверх на (- ∞ ;(4/3))

y`` >0 при х ∈ ((4/3); + ∞ )

кривая выпукла вниз на ((4/3); + ∞ )