Задача 60111 Вычислить массу прямолинейного стержня...

5fdb34caec9d2930a08982ab

03.06.2021 16:49:18

Вычислить массу прямолинейного стержня АВ , где А(0‚-2)‚ В(4‚0)‚ если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию до начала координат.|

5f3ea7e3faf909182968ddd9

03.06.2021 23:17:14

★

m= ∫_ ( ∪ AB) μ (x;y)d [i]l[/i]- криволинейный интеграл первого рода по длине дуги

μ (x;y) - обратно пропорциональна расстоянию произвольной точки М(x;y) до начала координат.

[m]d=\sqrt{x^2+y^2} [/m]- расстояние произвольной точки М(x;y) до начала координат.

[m]μ (x;y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}[/m]


[b]Составим уравнение прямой АВ:[/b]

[m]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}}[/m]

[m]\frac{x-0}{4-0}=\frac{y-(-2)}{0-(-2)}[/m]

[m]\frac{x}{4}=\frac{y+2}{2}[/m] ⇒ [m]\frac{x}{2}=y+2[/m] ⇒ [m]y=\frac{1}{2}x-2[/m]

0 ≤ x ≤ 4

тогда

[m]y`=\frac{1}{2}[/m]

и

[m]dl=\sqrt{1+(y`(x))^2}dx=\sqrt{1+(\frac{1}{2})^2}dx=\frac{\sqrt{5}}{2}[/m]


[m]μ (x;y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+(\frac{1}{2}x-2)^2}}=\frac{1}{\frac{5}{4}x^2-2x+4}[/m]


m= ∫_ ( ∪ AB) μ (x;y)d [i]l[/i]= [m]∫ _{0}^{4}\frac{1}{\frac{5}{4}x^2-2x+4}\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}dx[/m] - определенный интеграл=

= [m] \sqrt{5}∫ _{0}^{4}\frac{1}{5x^2-8x+16}dx=∫ _{0}^{4}\frac{1}{x^2-\frac{8}{5}x+\frac{16}{5}}dx=∫ _{0}^{4}\frac{1}{(x-\frac{4}{5})^2-(\frac{4}{5})^2+\frac{16}{5}}dx=∫ _{0}^{4}\frac{1}{(x-\frac{4}{5})^2-(\frac{8}{5})^2}dx[/m]

табличный интеграл см. скрин