Задача 60110 Знайти найбільше і найменше значення...
Условие
Решение
[m]z`_{x}=\frac{ ∂ z}{ ∂ x}=((x^2-2xy-y^2+4x+1)`_{x}=(x^2)`_{x}-2y\cdot (x)`_{x}-(y^2)`_{x}+4(x)`_{x}+(1)`=2x-2y+4[/m]
[m]z`_{y}=\frac{ ∂ z}{ ∂ y}=(x^2-2xy-y^2+4x+1)`_{y}=(x^2)`_{y}-2x\cdot (y)`_{y}-(y^2)`_{y}+4(x)`_{y}+(1)`=-2x-2y[/m]
Находим [i]стационарные[/i] точки:
[m]\left\{\begin {matrix}2x-2y+4=0\\-2x-2y=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}2x-2(-x)+4=0\\y=-x\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x=-1\\y=1\end {matrix}\right.[/m]
(-1;1) не является внутренней точкой области.
Поэтому исследуем функцию на [i]границах:[/i]
1)
x+y+1=0
y=-x-1
подставляем в функцию
z=x^2-2x*(-x-1)-(-x-1)^2+4x+1 получаем функцию одной переменной
z=2x^2+4x
Исследуем ее на наибольшее наименьшее значение при -3 ≤ x ≤ -1
z`=4x+4
x=-1- не является внутренней точкой отрезка [-3;-1]
Находим значения на концах:
z(-3)=2*(-3)^2+4*(-3)=[b]6[/b]
z(-1)=2*(-1)^2+4*(-1)=[b]-2[/b]
2)
y=0
подставляем в функцию
z=x^2-2x*0-0^2+4x+1 получаем функцию одной переменной
z=x^2+4x+1
Исследуем ее на наибольшее наименьшее значение при -3 ≤ x ≤ -1
z`=2x+4
z`=0
x=-2 - внутренняя точка [-3;-1]
z(-2)=(-2)^2+4*(-2)+1=4-8+1=[b]-3[/b]
Значения на концах найдены в 1)
3)
x=-3
подставляем в функцию
z=(-3)^2-2*(-3)*y-y^2+4*(-3)+1 получаем функцию одной переменной
z=-y^2+6y-2
Исследуем ее на наибольшее наименьшее значение при 0 ≤ y ≤ 2
z`=-2y+6
z`=0
y=3 - не является внутренней точкой [0;2]
Значения на концах найдены в 1)
Выбираем наибольшее и наименьшее
6 - наибольшее
-3 - наименьшее