Задача 60109 Знайти dz i d^2z...

60b8cbbea1c50e1d3043a673

03.06.2021 15:57:23

Знайти dz i d^2z функції:
z=arctg(5x-3xy+y^2)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

04.06.2021 08:51:39

★

[m]dz=\frac{ ∂ z}{ ∂ x}dx+\frac{ ∂ z}{ ∂ y}dy[/m]

[m]\frac{ ∂ z}{ ∂ x}=(arctg(5x–3xy+y^2))`_{x}=\frac{1}{1+(5x–3xy+y^2)^2)}\cdot (5x-3xy+y^2)`_{x}=\frac{3-3y}{1+(5x–3xy+y^2)^2)}[/m]

[m]\frac{ ∂ z}{ ∂ y}=(arctg(5x–3xy+y^2))`_{y}=\frac{1}{1+(5x–3xy+y^2)^2)}\cdot (5x-3xy+y^2)`_{y}=\frac{(-3x+2y)}{1+(5x–3xy+y^2)^2)}[/m]


[m]dz=\frac{3-3y}{1+(5x–3xy+y^2)^2)} dx+\frac{(-3x+2y)}{1+(5x–3xy+y^2)^2)}dy[/m] - о т в е т.

2)

Находим

[m]\frac{ ∂^2z}{ ∂ x^2}=(\frac{(3-3y)}{1+(5x–3xy+y^2)^2)})`_{x}[/m]=...

[m]\frac{ ∂^2z}{ ∂ x ∂y }=(\frac{(3-3y)}{1+(5x–3xy+y^2)^2)})`_{y}[/m]=...

[m]\frac{ ∂^2z}{ ∂ y^2}=(\frac{(-3x+2y)}{1+(5x–3xy+y^2)^2)})`_{y}[/m]=...

cчитаете...

и подставляете в формулу:

[m]d^2z=\frac{ ∂^2 z}{ ∂ x^2}(dx)^2+2\frac{ ∂^2z}{ ∂ x ∂y }dxdy+\frac{ ∂^2 z}{ ∂ y^2}(dy)^2[/m]