Задача 60062 Система дифференциальных уравнений...
Условие
Решение
x`=-x-2y\\y`=3x+4y \end{matrix}\right.[/m]
Выразим из первого уравнения [m]y[/m] и подставим во второе уравнение:
[m]\left\{\begin{matrix}
y=-\frac{1}{2}x`-\frac{1}{2}x\\(-\frac{1}{2}x`-\frac{1}{2}x)`=3x+4\cdot (-\frac{1}{2}x`-\frac{1}{2}x) \end{matrix}\right.[/m]
Решаем второе уравнение:
[m](-\frac{1}{2}x`-\frac{1}{2}x)`=3x+4\cdot (-\frac{1}{2}x`-\frac{1}{2}x) [/m]
[m]\frac{1}{2}x``-\frac{3}{2}x`+x=0[/m]
Умножаем на 2
[m]x``-3x`+2x=0[/m]
получили линейное [i]однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
[/i]
Составляем характеристическое уравнение:
[m]k^2-3k+2=0[/m]
D=9-8=1
[m]k_{1}=1[/m] ; [m]k_{2}=2[/m] - корни действительные различные.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
x_(общее однород)=[m]C_{1}e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t}[/m]
Находим
x`_(общее однород)=[m]C_{1}e^{t} +2C_{2}\cdot e^{2t}[/m]
y_(общее однород)=[m]-\frac{1}{2}x`-\frac{1}{2}x=-C_{1}e^{t} -\frac{3}{2}C_{2}\cdot e^{2t}[/m]
Итак, общее решение системы:
[m]\left\{\begin{matrix}
x=C_{1}\cdot e^{t} +C_{2}\cdot e^{2t}\\y=-C_{1}\cdot e^{t} -\frac{3}{2}C_{2}\cdot e^{-t}\end{matrix}\right.[/m]
О т в е т. а)