Задача 60061 Проинтегрировать уравнения...
Условие
Решение
[m]P(x;y)=\frac{2x}{y^3}[/m]
[m]Q(x;y)=\frac{y^2-3x^2}{y^4}[/m]
Так как
[m]\frac{ ∂ P}{ ∂ y}=(\frac{2x}{y^3})`_{y}=2x\cdot (y^{-3})`_{y}=2x\cdot (-3)\cdot y^{-4}=\frac{(-6x)}{y^4}[/m]
[m]\frac{∂ Q}{ ∂ x}=(\frac{y^2-3x^2}{y^4})`_{x}=(\frac{y^2}{y^4}-\frac{3x^2}{y^4})`_{y}=-\frac{3}{y^4}\cdot (x^2)`_{x}=\frac{(-6x)}{y^4}[/m]
и ∂ P/ ∂ y = ∂ Q/ ∂ x,
то это [b]уравнение в полных дифференциалах.[/b]
Значит, u(x;y)=C - решение дифференциального уравнения.
Функция u может быть найдена из условий:
∂ u/ ∂ x=P(x;y)
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
∂ u/ ∂ x=P(x;y) ⇒ [b]u(x;y)[/b]=[m] ∫ P(x;y) dx= ∫\frac{2x}{y^3}dx =\frac{2}{y^3}\cdot\frac{x^2}{2}[/m]+ [b]φ (y)[/b]=
[m]=\frac{x^2}{y^3}[/m]+ [b]φ (y)[/b]
Находим производную:
∂ u/ ∂ y=([m]\frac{x^2}{y^3}[/m]+ [b]φ (y)[/b])`_(y)=[m]\frac{-3x^2}{y^4}[/m]+ [b](φ (y)[/b])`_(y)
Так как
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
сравниваем и получаем:
[b]φ` (y)[/b]=[m]\frac{y^2}{y^4}[/m]
Тогда
[b] φ (y)[/b]= ∫[m]\frac{1}{y^2}dy +C=-\frac{1}{y}+C[/m]
О т в е т.
[b]u(x;y)[/b]=[m]\frac{x^2}{y^3}-\frac{1}{y}+C[/m]