Задача 60057 Вычислить определенный интеграл...
Условие
Решение
универсальная подстановка
[m]tg\frac{x}{2}=t[/m]
⇒
[m] sinx=\frac{2t}{1+t^2}[/m];[m] cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/m]
[m]dx=\frac{2}{1+t^2}dt[/m]
Пределы:
x=-(π/2) ⇒ t= tg(-π/4)=-1
x=0 ⇒ t=0
получаем
[m]= ∫_{-1}^{0}\frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{(1+\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2t}{1+t^2})^2}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}=[/m]
[m]∫_{-1} ^{0}\frac{(1-t^2)\cdot 2}{(1+t^2+1-t^2-2t)^2}dt=∫_{-1} ^{0}\frac{2(1-t)(1+t)}{4(t-1)^2}dt=-\frac{1}{2}∫_{-1} ^{0}\frac{t+1}{t-1}dt=[/m]
[m]=-\frac{1}{2}∫_{-1} ^{0}\frac{t-1+2}{t-1}dt=(-\frac{1}{2}t-ln|t-1|)|_{-1} ^{0}=+\frac{1}{2}\cdot (-1)+ln|-1-1|=ln2-0,5[/m]
2) По частям:
=====
[m]=u=3-7x^2[/m] ⇒ [m]du=-14 x dx[/m]
[m]v=cos2xdx[/m] ⇒ [m] v= ∫ cos2xdx=\frac{1}{2} ∫ cos2xd(2x)=\frac{1}{2}sin2x[/m]
=====
[m] ∫_{0} ^{2π}(3-7x^2)cos2x dx=((3-7x^2)\cdot \frac{1}{2}sin2x)|∫ _{0} ^{2π}- ∫ _{0} ^{2π}\frac{1}{2}sin2x\cdot( -14 x) dx[/m]=
[m]=(3-7\cdot (2π)^2)\cdot \frac{1}{2}sin 4π - (3-7\cdot (0)^2)\cdot \frac{1}{2}sin 0 +7∫ _{0} ^{2π}xsin2xdx=7∫ _{0} ^{2π}xsin2xdx[/m]
по частям
====
[m]u=x[/m] ⇒ [m]du= dx[/m]
[m]v=sin2xdx[/m] ⇒ [m] v= ∫ sin2xdx=\frac{1}{2} ∫ sin2xd(2x)=\frac{1}{2}(-cos2x)[/m]
====
[m]=(\frac{1}{2}x\cdot (-cos2x))| _{0} ^{2π}- ∫ _{0} ^{2π}\frac{1}{2}(-cos2x)dx=[/m]
[m]=\frac{1}{2}\cdot 2π\cdot (-cos4π)-0+\frac{1}{4} ∫ _{0} ^{2π}cos2xd(2x)=-π+\frac{1}{4}(sin2x)| _{0} ^{2π}=-π+0=-π[/m]