Задача 60055 решить интегралы с небольшим пояснением ...
Условие
Решение
Интегрирование по частям
[m]u=ln(sinx)[/m]
[m]dv=dx/cos^2x[/m]
⇒
[m]du=\frac{1}{sinx}\cdot (sinx)`dx=\frac{cosx}{sinx}dx=tgx dx[/m]
[m]v= ∫ \frac{dx}{cos^2x}=tgx[/m]
[m]∫\frac{ln(sinx)dx}{cos^2x}[/m]=(ln(sinx))* (tgx)- ∫ tgx*tgx dx=(ln(sinx))* (tgx)- ∫ tg^2xdx=(ln(sinx))* (tgx)- ∫[m](\frac{1}{cos^2x} [/m]-1)dx=
[b]=(ln(sinx))* (tgx) - tgx +x + C[/b]
7.22
Интегрирование квадратных трехчленов: Метод: выделение полного квадрата и замена переменной
-2x^2-5x+1=-2*(x^2+(5/2)-(1/2))=-2*([blue]x+(5/4)[/blue])^2-(5/4)^2-(1/2))=
=-2*(([blue]x+(5/4)[/blue])^2-(33/16))
[blue]x+(5/4)[/blue]=t
x=t-(5/4)
dx=dt
∫ dx/(-2x^2-5x+1)=-2 ∫ dt/(t^2-(33/16))= табличный интеграл
∫ du/(u^2-a^2)=(1/2a)ln{(u-a)/(u+a)| + C
a^2=33/16
a=sqrt(33)/4
8.22
Интегрирование квадратных трехчленов: Метод: выделение полного квадрата и замена переменной
2x^2-5x-1=2*(x^2-(5/2)-(1/2))=2*([blue]x-(5/4)[/blue])^2-(5/4)^2-(1/2))=
=2*(([blue]x-(5/4)[/blue])^2-(33/16))
[blue]x-(5/4)[/blue]=t
x=t+(5/4)
dx=dt
-2x+5=-2*(t+(5/4))+5=-2t-(5/2)+5=-2t+(5/2)
получаем
[m] ∫ \frac{-2x+5}{2x^2-5x-1}dx= ∫ \frac{(-2t+\frac{5}{2})}{2\cdot (t^2-\frac{33}{16})}dt=[/m]
сумма двух интегралов
[m]= ∫ \frac{(-2t)}{2\cdot (t^2-\frac{33}{16})}dt+ ∫ \frac{-\frac{5}{2}}{2\cdot (t^2-\frac{33}{16})}dt=- ∫ \frac{t}{t^2-\frac{33}{16}}dt+\frac{5}{4} ∫ \frac{1}{t^2-\frac{33}{16}}dt[/m][red][b]=[/b][/red]
два табличных интеграла
[m] ∫ \frac{du}{u}=ln|u|+C[/m]
[m] ∫\frac{ du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{u-a}{u+a}| + C[/m]
[red][b]=[/b][/red][m]-\frac{1}{2} ∫ \frac{d(t^2-\frac{33}{16}}{t^2-\frac{33}{16}}+\frac{5}{4}∫ \frac{1}{t^2-\frac{33}{16}}dt=[/m]
[m]=-\frac{1}{2}ln |t^2-\frac{33}{16}|+\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{33}{16}}}ln|\frac{t-\sqrt{\frac{33}{16}}}{t+\sqrt{\frac{33}{16}}}|+C[/m]
t=
9.22
Интегрирование квадратных трехчленов.
Метод - выделение полного квадрата.
Замена переменной
4x^2+3x-4=4*(x^2+(3/4)x-1)=4*((x+(3/8))^2-(3/8)^2-1)=4*(([blue]x+(3/8)[/blue])^2-(73/64))
[blue]x+(3/8)[/blue]=t ⇒ x=t-(3/8)
dx=dt
3-x=3-(t-(3/8)=3-t+(3/8)=(27/8)-t
[m] ∫ \frac{3-x}{\sqrt{4x^2+3x-4}}dx=∫ \frac{\frac{27}{8}-t}{\sqrt{4(t^2-\frac{73}{64})}}dt=\frac{27}{16}∫ \frac{1}{\sqrt{t^2-\frac{73}{64}}}dt-\frac{1}{4}∫ \frac{2t}{\sqrt{t^2-\frac{73}{64}}}dt [/m][green][b]=[/b][/green]
два табличных интеграла
[m] ∫ \frac{du}{\sqrt{u^2 ±a }}=ln|u+\sqrt{u^2 ±a }|+C[/m]
[m] ∫ \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}+C[/m]
[green][b]=[/b][/green] [m]\frac{27}{16}\cdot ln|t+\sqrt{t^2-\frac{73}{64}}|-\frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{t^2-\frac{73}{64}}+C[/m]
t=