Задача 60054 Решите систему линейных дифференциальных...
Условие
Решение
x`(t)=3x-y\\y`(t)=5x+y \end{matrix}\right.[/m]
Выразим из первого уравнения [m]y[/m] и подставим в второе уравнение:
[m]\left\{\begin{matrix} y=3x-x`\\(3x-x`)`=5x+(3x-x`)
\end{matrix}\right.[/m]
Решаем второе уравнение:
[m]3x`-x``=5x+3x-x`[/m]
[m]x``-4x`+8x=0[/m]
получили линейное [i]однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
[/i]
Cоставляем характеристическое уравнение:
[m]k^2-4k+8=0[/m]
D=(-4)^2-4*8=-16
[m]k_{1,2}=2 ±2i [/m] - корни комплексные сопряженные вида α ± β i
α =2
β =2
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
[b]x_(общее однород)[/b]=[m]e^{2t}\cdot (C_{1}cos 2t +C_{2}sin 2t)[/m]
Находим
x`_(общее однород)=[m]2e^{2t}\cdot (C_{1}cos 2t +C_{2}sin 2t)+e^{2t}\cdot (-2C_{1}sin 2t +2C_{2}cos 2t)[/m]
y_(общее однород)=3x-x`=[m]3e^{2t}\cdot (C_{1}cos 2t +C_{2}sin 2t)-2e^{2t}\cdot (C_{1}cos 2t +C_{2}sin 2t)-e^{2t}\cdot (-2C_{1}sin 2t +2C_{2}cos 2t)[/m]
y_(общее однород)=[m]e^{2t}\cdot (C_{1}-2C_{2})cos2t+(2C_{1}+C_{2})sin2t)[/m]
Общее решение системы
О т в е т. c) но там ОПЕЧАТКА
