Задача 60038 Дифференциальные уравнения в полных...
Условие
Решение
Q(x;y)=y(x^2+2y^2)
Так как
∂ P/ ∂ y=x*(3x^2+y^2)`_(y)=x*(0+2y)=2xy
∂ Q/ ∂ x=y(x^2+2y^2))`_(x)=y*(2x+0)=2xy
и ∂ P/ ∂ y = ∂ Q/ ∂ x,
то это [b]уравнение в полных дифференциалах.[/b]
Значит, u(x;y)=C - решение дифференциального уравнения.
Функция u может быть найдена из условий:
∂ u/ ∂ x=P(x;y)
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
∂ u/ ∂ x=P(x;y) ⇒ [b]u(x;y)[/b]= ∫ P(x;y) dx= ∫ x*(2x^2+y^2)dx=∫ (2x^3+xy^2)dx=2*(x^4/4)+y^2*(x^2/2)+ [b]φ (y)[/b]=
=(1/2)*x^4+(1/2)*x^2*y^2+ [b]φ (y)[/b]
Находим производную:
∂ u/ ∂ y=((1/2)*x^4+(1/2)*x^2*y^2+ [b]φ (y)])`_(y)[/b]=x^2y+ [b]φ` (y)[/b]
Так как
∂ u/ ∂ y=Q(x;y), сравниваем
∂ u/ ∂ y=x^2y+ [b]φ` (y)[/b] и Q(x;y)=y(x^2+2y^2)
то
[b]φ` (y)[/b]=2y^3
Тогда
[b] φ (y)[/b]=2*(y^4/4) +C=(1/2)*y^4+C
О т в е т.
[b]u(x;y)==(1/2)*x^4+(1/2)*x^2*y^2+(1/2)*y^4 +C[/b][/b]