Задача 60036 Решить неравенство (егэ математика...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x>0\\log^2_{2}x-25 ≠ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x>0\\log_{2}x ≠ ± 5\end {matrix}\right.[/m]⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x>0\\x ≠ 2^5; x ≠ 2^{-5};\end {matrix}\right.[/m]⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x>0\\x ≠ 32; x ≠ \frac{1}{32};\end {matrix}\right.[/m]
[red]ОДЗ:[m] x ∈ (0;\frac{1}{32})\cup(\frac{1}{32};5)\cup(5;+ ∞ )[/m] [/red]
Замена переменной:
[m]log_{2}x=t[/m]
Неравенство принимает вид:
[m]\frac{5t^2-100}{t^2-25} ≥ 4[/m]
[m]\frac{5t^2-100}{t^2-25} -4≥ 0[/m]
[m]\frac{5t^2-100-4t^2+100}{t^2-25} ≥ 0[/m]
[m]\frac{t^2}{t^2-25} ≥ 0[/m]
Решаем неравенство методом интервалов:
_________+______ (-5) _______ [0] __________ (5) ______+_______
t <-5 или t=0 или t >5
Обратный переход
[m]log_{2}x<-5[/m] или [m]log_{2}x=0[/m] или [m]log_{2}x>5[/m]
[m] x < \frac{1}{32}[/m] или [m]x=1[/m] или [m] x > 32[/m]
С учетом ОДЗ получаем ответ:
[blue][m] x ∈ (0;\frac{1}{32})\cup[/m]{1} [m]\cup(5;+ ∞ )[/m][/blue]