Задача 60034 ...
Условие
Решение
x^2+y^2=9 - уравнение окружности с центром (0;0) радиусом R_(2)=3
Область D ( см. рис.)
[m]m= ∫∫_{D} μ (x;y) dxdy[/m]
Полярные координаты
x= ρ cos θ
y= ρ sin θ
x^2+y^2=(ρ cos θ )^2+(ρ sin θ)^2= ρ ^2*(cos^2 θ +sin^2 θ )= ρ ^2*1= ρ ^2
x^2+y^2=1 ⇒ ρ^2=1 ⇒ ρ =1
x^2+y^2=0 ⇒ ρ^2 =9 ⇒ ρ =3
0 ≤ θ ≤ (π/2)
1 ≤ ρ ≤ 3
В полярных координатах область D - прямоугольник
[m]f(x;y)=\frac{2 ρ cos θ - ρ sin θ }{ ρ^2}[/m]
Таким образом
[m]m= ∫∫_{D} dxdy= ∫_{0} ^{\frac{π}{2}}(∫_{1 }^{3 } \frac{2 ρ cos θ -ρ sin θ }{ ρ^2} ρd ρ )d θ= ∫_{0} ^{\frac{π}{2}}(2cos θ-sin θ) ( ρ )| _{1}^{3 } )d θ= ∫_{0} ^{\frac{π}{2}}(2cos θ-sin θ)(3-1) d θ=∫_{0} ^{\frac{π}{2}}(4cos θ -2sin θ) d θ = [/m]
[m](4sin θ +2cos θ )|_{0} ^{\frac{π}{2}}=...[/m]
