Задача 60032 Построить график функции с помощью...
Условие
Решение
Область определения: x-1 ≠ 0
[m]x ∈ (- ∞ ;1) \cup (1;+ ∞ )[/m]
x=1 - точка разрыва второго рода
Прямая [m] x=1[/m] - вертикальная асимптота
Исследование с помощью первой производной:
[m]y`=((\frac{x+2}{x-1})^2)`=2\cdot (\frac{x+2}{x-1})\cdot(\frac{x+2}{x-1})`=[/m]
[m]=2\cdot (\frac{x+2}{x-1})\cdot \frac{(x+2)`\cdot (x-1)-(x+2)\cdot (x-1)`}{(x-1)^2}=[/m]
[m]=2\cdot (\frac{x+2}{x-1})\cdot \frac{x-1-x-2}{(x-1)^2}=2\cdot (\frac{x+2}{x-1})\cdot ( \frac{-3}{(x-1)^2})=- 6\frac{x+2}{(x-1)^3}[/m]
y`=0 ⇒ [m]-6\frac{x+2}{(x-1)^3}=0[/m]
x+2=0
x=-2
Расставляем знак производной на области определения:
___-___ (-2) ___+___ (1) ___-__
y`>0 на [m] (- 2;1) [/m]
значит функция возрастает на [m] (- 2 ;1) [/m]
y`<0 на [m] (- ∞ ;-2) \cup (1;+ ∞ )[/m]
значит функция убывает на [m] (- ∞ ;-2) [/m] и на [m] (1;+ ∞ )[/m]
x=2 - точка минимума, производная при переходе через эту точку меняет знак с - на +
y(2)=0
Исследование с помощью второй производной:
[m]y``=(-6\frac{x+2}{(x-1)^3})`=-6\cdot \frac{(x+2)`\cdot (x-1)^3-(x+2)\cdot ((x-1)^3)`}{((x-1)^3)^2}=-6\cdot \frac{ (x-1)^3-(x+2)\cdot (3(x-1)^2)}{(x-1)^6}=-6\cdot \frac{x-1-3x-6}{(x-1)^4}=6\cdot \frac{2x+7}{(x-1)^4} [/m]
y``=0
[m]2x+7=0[/m]
[m]x=-3,5[/m]
Функция выпукла вверх на [m] (-3,5;+ ∞ )[/m], так как y` < 0 на [m] (-3,5;+ ∞ )[/m],
Функция выпукла вниз на [m] (- 3,5 ;1) [/m] и на [m] (1;+ ∞ )[/m],так как y` > 0 на [m] (- 3,5 ;1) [/m] и на [m] (1;+ ∞ )[/m]
2.
Область определения:
[m]\frac{x+1}{x+2}>0[/m] ⇒ [m]x ∈ (- ∞ ;-2) \cup (-1;+ ∞ )[/m]
x=2 и х=-1 - точки разрыва второго рода
Прямые [m] x=-2[/m] ;[m] x=-1[/m]- вертикальные асимптоты
Исследование с помощью первой производной:
[m]y`=(ln\frac{x+1}{x+2})`=\frac{1}{\frac{x+1}{x+2}}\cdot(\frac{x+1}{x+2})`=[/m]
[m]=(\frac{x+2}{x+1})\cdot \frac{(x+1)`\cdot (x+2)-(x+1)\cdot (x+2)`}{(x+2)^2}=[/m]
[m]=\frac{x+2}{x+1}\cdot \frac{1\cdot (x+2)-(x+1)\cdot 1}{(x+2)^2}=\frac{x+2}{x+1}\cdot \frac{x+2-x-1}{(x+2)^2}=\frac{x+2}{x+1}\cdot \frac{1}{(x+2)^2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)} [/m]
y`>0 на [m] (- ∞ ;-2) \cup (-1;+ ∞ )[/m]
значит функция возрастает на [m] (- ∞ ;-2) [/m] и на [m] (-1;+ ∞ )[/m]
Точек экстремума нет
Исследование с помощью второй производной:
Функция выпукла вниз на [m] (- ∞ ;-2) [/m]
Функция выпукла вверх на [m] (-1;+ ∞ )[/m]
Так как вторая производная: