Задача 60021 Построить график функции с помощью...
Условие
Решение
[m]\frac{x+1}{x+2}>0[/m] ⇒ [m]x ∈ (- ∞ ;-2) \cup (-1;+ ∞ )[/m]
Исследование с помощью первой производной:
[m]y`=(ln\frac{x+1}{x+2})`=\frac{1}{\frac{x+1}{x+2}}\cdot(\frac{x+1}{x+2})`=[/m]
[m]=(\frac{x+2}{x+1})\cdot \frac{(x+1)`\cdot (x+2)-(x+1)\cdot (x+2)`}{(x+2)^2}=[/m]
[m]=\frac{x+2}{x+1}\cdot \frac{1\cdot (x+2)-(x+1)\cdot 1}{(x+2)^2}=\frac{x+2}{x+1}\cdot \frac{x+2-x-1}{(x+2)^2}=\frac{x+2}{x+1}\cdot \frac{1}{(x+2)^2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)} [/m]
y`>0 на [m] (- ∞ ;-2) \cup (-1;+ ∞ )[/m]
значит функция возрастает на [m] (- ∞ ;-2) [/m] и на [m] (-1;+ ∞ )[/m]
Точек экстремума нет
Функция выпукла вниз на [m] (- ∞ ;-2) [/m]
Функция выпукла вверх на [m] (-1;+ ∞ )[/m]
Так как вторая производная:
[m]y``=(\frac{1}{(x+1)(x+2)})` =-\frac{((x+1)(x+2))`}{((x+1)(x+2))^2}=-\frac{1\cdot (x+2)+(x+1)\cdot 1}{((x+1)(x+2))^2}=-\frac{2x+3}{((x+1)(x+2))^2}[/m]
[m]-\frac{2x+3}{((x+1)(x+2))^2}>0[/m] при x < -1,5, т.е на [m] (- ∞ ;-2) [/m]
[m]-\frac{2x+3}{((x+1)(x+2))^2}<0[/m] при x > -1,5, т.е на[m] (-1;+ ∞ )[/m]
График 