Задача 60016 Двойной интеграл, высшая математика 1...
Условие
Вычислите двойной интеграл в полярной системе координат...
Решение
y= ρ sin θ
x^2+y^2=(ρ cos θ )^2+(ρ sin θ)^2= ρ ^2*(cos^2 θ +sin^2 θ )= ρ ^2*1= ρ ^2
x^2+y^2=1 ⇒ ρ ^2=1 ⇒ ρ =1, так как ρ ≥ 0
D: x^2+y^2=1 - окружность
D: 0 ≤ ρ ≤ 1; 0 ≤ θ ≤ 2π - прямоугольник в полярной системе координат
Интеграл в полярных координатах это интеграл по прямоугольнику, якобиан равен ρ
Поэтому получаем:
[m]= ∫_{0} ^{2π} (∫_{0}^{1} \frac{2 ρ cos θ -ρ sin θ }{ ρ ^2} ρ d ρ )d θ =∫_{0} ^{2π}(∫_{0}^{1}(2cos θ -sin θ )d ρ )d θ [/m]
[m]= ∫_{0} ^{2π}(2cos θ -sin θ ) (∫_{0}^{1}d ρ )d θ = ∫_{0} ^{2π}(2cos θ -sin θ ) ( ρ)|{0}^{1})d θ=∫_{0} ^{2π}(2cos θ -sin θ ) d θ= [/m]
[m]=(2sin θ +cos θ )| _{0} ^{2π}=[/m]... подставляйте, считайте