Задача 60011 Найти общее решение дифференциального...

60b1ff20a1c50e1d30437be1

30.05.2021 18:25:59

Найти общее решение дифференциального уравнения:
y’’+4y’=16Sh4x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.05.2021 19:00:05

★

Это неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Решаем однородное:
y``+4y`=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4k=0
k*(k+4)=0
k_(1)=0 k_(2)=-4 - корни действительные различные:

Значит, общее решение имеет вид:

y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)

y= C_(1) e^(0*x)+C_(2)*e^(-4x)

[b]y= C_(1) +C_(2)*e^(-4x)[/b] - общее решение однородного.

Неоднородное уравнение можно решать двумя способами

1) способ вариации произвольных постоянных

2) если правая часть имеет "специальный вид", то применяют способ частных решений

Правая часть:

f(x)=16sh4x

sh4x=(1/2)(e^(4x)-e^(-4x))

f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)


f_(1)(x)=8e^(4x)

k=4 не является корнем характеристического уравнений,

поэтому частное решение

y_(частное _(1))=A*e^(4x)

Находим

y`_(частное _(1))=(A*e^(4x))`=A*e^(4x)*(4x)`=4*A*e^(4x)

y``_(частное _(1))=(4*A*e^(4x))`=4*(A*e^(4x))`=4*A*e^(4x)*(4x)`=16*A*e^(4x)


16*A*e^(4x)+4*4*A*e^(4x)=8e^(4x)

32A=8

A=1/4

y_(частное _(1))=(1/4)*e^(4x)


f_(2)(x)=-8e^(-4x)

k=-4 является корнем характеристического уравнений,

поэтому частное решение

y_(частное _(2))=A*[b]x*[/b]e^(-4x)

Находим

y`=A*e^(-4x)+A*x*e^(-4x)*(-4x)`=A*e^(-4x)-4*A*x*e^(-4x)

y``=-4A*e^(-4x)-4A*e^(-4x)-4A*x*e^(-4x)*(-4x)`=-8A*e^(-4x)+16A*x*e^(-4x)


-8A*e^(4x)+16*A*e^(4x)+4*A*e^(-4x)-16*A*x*e^(-4x)=-8e^(-4x)

-4A=-8

A=2

y_(частное _(2))=2*x*e^(-4x)


y_(частное)=y_(частное _(1))+y_(частное _(2))=(1/4)*e^(4x)-2*x*e^(-4x)

О т в е т. y_(общее неодн)=y_(общее одн)+y_(частное)=y= C_(1)+C_(2)*e^(-4x)+(1/4)*e^(4x)2*x*e^(-4x)